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aumentare la longitudine del perielio. La distanza angolare tra un afelio e 

 il successivo perielio sarà perciò maggiore di n . 



Teorema IV. — Supponiamo che si abbia lim r = co . Io dico che 



t=00 



si avrà anche lim r = co ; e che, da t = — oo a t = oo,r ammetterà 



t=-rc 



certamente e solamente un minimo (perielio). 



Dimostraz. — Intanto è chiaro, per l'osservazione II, jhe A non 

 potrà compiere alcuna rivoluzione intorno ad 0. Variando quindi t da — oo 

 a -j- oo , l'anomalia & varierà da a a essendo § — a<^2n. 



Ne segue che la derivata — tenderà a zero quando t tende a — oo ; 



e quindi, per la (2), r tenderà a co . 



Ciò posto, essendo r funzione continua di t, e divenendo oo per ^ = rtoo, 

 essa ammetterà certamente un minimo. Che non possa ammetterne più di 

 uno, è poi stato dimostrato nel teorema VI della mia Memoria. 



Osservaz. — Questo teorema ci mostra che, anche nel caso di masse 

 crescenti [ed anche se lira M(^) = co , purché M(t) divenga oo di ordine 



<=00 



inferiore al primo (teorema I della mia Memoria)] si possono avere orbile 

 somiglianti ad iperbole, senza però alcun asse di simmetria per l'origine 

 (pag. 11 della mia Memoria). 



Sarà inutile osservare che il teorema contrario non sussiste: può aversi 

 infatti lim r = co , senza che ne discenda lira r = co . 



t= — 00 £ = 00 



Teorema V. — Se la conica osculatrice è un'iperbole (o parabola), 

 l'eccentricità è funzione decrescente del tempo. 



Dimostraz. — Ponendo, al solito, c'=f=l, si ha la formola 



(13) e =v 1+ omf l 



da cui, differenziando, e ricordando la (11), 

 , 1yl \ de 1 ^1 2h 



5 dM. lM(t)J ( r 1 M(f) 



Siccome, per ipotesi, h è positivo o nullo, la derivata -J- sarà negativa. 



Teorema VI. — Se in un dato istante t la conica osculatrice è 

 un ellisse, l'eccentricità sarà funzione crescente o decrescente del tempo, 

 secondo che, in quell'istante, il coseno dell'anomalia eccentrica u è nega- 

 tivo o positivo. 



