— 305 — 



Dimostraz. — Supposto che all'istante t la conica osculatrice sia 

 ellittica, avremo, chiamando con u ed a, rispettivamente, l'anomalia eccen- 

 trica e il semiasse maggiore: 



(15) h = — ; r = a(l — e cos u) . 



2a 



da cui, sostituendo nella (14), otterremo, con alcune riduzioni, 



de cos u 



(16) 



clM Wa{e cos u — 1) 



de 



Siccome, per ipotesi, si ite e <C 1, il segno della derivata sarà contrario 



fai segno del cos u( l ). 



3. — Cominciamo dal caso in cui M(^) per t = oo diviene oo d'ordine 

 eguale o superiore al primo. Per l'osservazione I . e per il teorema Vili della 

 mia Memoria, la traiettoria presenta allora, necessariamente, la forma di 

 una spirale, di cui ogni spira è contenuta nella precedente. L' urto ha 

 luogo per t = cc (tig. 1). 



Supponiamo, al contrario, che M(t) divenga oo per t = co, ma d'ordine 

 inferiore al primo. La traiettoria presenta allora due forme differenti : o 

 quella ora studiata, oppure una forma somigliante ad un'iperbole. Il corpo 

 A parte dall'infinito per t = — oo ; r decresce tino ad un certo minimo q, 

 poi torna a crescere tendendo all' infinito insieme con t. Come si è detto, 

 non vi è alcun asse di simmetria (tig. 2). 



Esaminiamo ora il caso in cui si abbia limM(£) = B; essendo B una 



quantità finita e positiva. È allora chiaro che, tendendo / all'infinito, l'or- 

 bita tende a cangiarsi in una conica. D'altra parte, essendo M(/) funzione 

 crescente, e sempre positiva per valori reali dell'argomento, si ha neces- 

 sariamente limM(/) = 6. Possiamo dunque dire che la traiettoria è in 



t~ — CO 



questo caso doppiamente assintotica, tendendo a cangiarsi in una conica per 

 / = =too. Siccome h è funzione decrescente di t, i casi possibili sono 

 cinque, secondo che le traiettorie limiti per t — — oc e per t = co sono: 

 a) due ellissi (fig. 3); 



/3) una parabola (per t = — oo) ed una ellisse (per t = co) (fig. 4) ; 

 y) un'iperbole (per t = — oo) ed una ellisse (per t = cc) (fig. 5). 

 In questi tre casi A compie infinite rivoluzioni intorno ad 0; 

 ó) un'iperbole ed una parabola (fig. 6). 



(') Supponiamo che l'orbita di un pianeta sia esattamente circolare e che sul Sole 

 cada un aereolite all'istante t. Essa si cangerà in un ellisse avente V afelio nella posi- 

 zione occupata dal pianeta in questo istante. Occorre quindi porre nelle (16) e = 0, 

 de 1 



cosw — — 1, da cui — - — . Invece l'effetto globale di una leggiera pioggia d'aereo- 

 liti uniformemente diffusa su tutta l'orbita è di far restare l'orbita simile a se stessa. 



