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contiene infinite coniche, queste si distribuiscono in uno o più fasci. Se la 

 F m contiene più fasci di coniche (almeno due), questi sono tutti razionali, 

 ed anche la superficie è razionale; se La F m contiene un sol fascio di coniche, 

 il cui genere indicheremo con p , essa si può riferire birazionalmente ad un 

 cono di genere p . 



Oltre al genere p di un fascio di coniche, T, giacente su una F m , vi 

 sono da considerare altri caratteri, e cioè: la classe a della sviluppabile 

 formata dai piani delle coniche (la F m si suppone ora immersa in uno 

 spazio S 3 ) ; il numero s delle coniche di T giacenti in ciascun piano della 

 sviluppabile ; il geuere 71 delle sezioni piane generiche della F m . Tra i ca- 

 ratteri m , p , a , s , ti intercedono delle relazioni. 



Anzitutto, considerando l'involuzione I di 2° grado e genere p che le 

 coniche di T segano sulla sezione piana generica C di F m , e cercando le 

 coppie di I che stanno su rette uscenti da un punto generico del piano 

 di C ('), si trova che 



( 1 ) n = m-\-2p — as — k — 1 , 



dove k è il numero delle coniche di T ridotte ad una retta da contar due 

 volte e che, per di più, sia doppia (almeno) per la F m . 



Esaminando poi il gruppo dei punti doppi della 1 (il cui numero è 

 dato dalla formola di Zeuthen), si trova che esso si compone sempre almeno 

 di 4 punti, onde 



(2) 7T > 2p + 1 . 



Essendo n _< \ (m — 1) (m — 2), di qui risulta 



a 



(3) p <l E |-£ m(m — 3) 



dove il simbolo E indica « parte intera ». 



Infine, dal confronto delle (1), (2), si ricava per il numero, as, delle 

 coniche del fascio il cui piano passa per un punto generico dello spazio la 

 limitazione 



(4) as — 2 . 



2. I teoremi precedenti bastano già per compiere, una volta fissato il 

 valore di m, uno schema dei tipi possibili di F m luoghi di coniche. 



( l ) Castelnuovo, Alcune osser'vazioni sopra le serie irrazionali di gruppi di punti 

 appartenenti ad una curva algebrica, questi Rendiconti, (4) 7, (1891), pp. 294-299, § 1; 

 Sej?re, Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito, Ann. 

 di matem., (2) 22 (1894), pp. 41-142, n. 53. 



