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Si osservi perciò che il piano della conica generica del fascio T sega 

 ancora F m in una linea y d'ordine m — 2 , irriducibile o spezzata, ma che 

 non può contenere alcuna componente rettilinea variabile col piano della 

 conica considerata. Ad es., per m = 4 quella linea può essere una conica 

 irriducibile (dello stesso fascio di quella di prima, oppur no), oppure una 

 retta fissa da contar due volte, che sarà doppia per la F 4 ; per m — h la 

 linea y può essere una C 3 irriducibile, oppure si può comporre di una conica 

 (del fascio T) e di una retta fissa, oppure di una retta fissa da contar tre 

 volte che sarà tripla per la F 5 . Infine, per m = 6 la linea y può essere 

 una C 4 irriducibile, oppure può comporsi d'una conica di T e di una retta 

 doppia della F 6 , o di una retta quadrupla della F 6 , o di due coniche. E così 

 via, per valori di m ^> 6 . 



Quando la linea y ha una componente irriducibile di ordine > 2 (od 

 anche di 2° ordine, purché si tratti allora di una conica non appartenente 

 al fascio T), questa è incontrata da ogni conica di T in un punto variabile 

 od in due; nel secondo caso si ha da considerare su di essa un'involuzione 

 di coppie di punti che si può facilmente studiare. È quindi chiaro che si 

 possono sempre trovare, per ogni forma della curva y, i valori possibili di 

 a e di s: bisognerà perciò valersi anche della (4). Dando poi al genere p 

 di T i valori che può assumere, in base alla (3), la (1) permette di cal- 

 colare n in funzione di k . 



La via qui sommariamente indicata conduce a riconoscere possibili vari 

 tipi di superficie, per ciascuno dei quali si avranno i valori di p,7i,a,s, k. 



3. Rimane da discutere l'esistenza effettiva di tutte queste superficie. 

 Per ciò torna comodo ricorrere al sistema lineare aggiunto a quello delle 

 sezioni piane di F m . Se n > 1 , un tal sistema, che è segato su F m 

 (fuori delle linee multiple) dalle superficie aggiunte d'ordine m — 3, esiste, 

 ed è composto col fascio T di coniche (*): le sue curve coincidono cioè 

 coi gruppi di una serie lineare gZz!i~ l sopra T . 



Ciò permette di costruire la F m con un riferimento algebrico tra i 

 piani d'una sviluppabile di classe a, e di tipo noto, e le F m-3 aggiunte di 

 un fascio. Nel maggior numero dei casi si può scegliere questo fascio in 

 guisa che i suoi elementi contengano tutti una componente fissa, il che sem- 

 plifica la costruzione; ad es., per m = rJ, se le coniche di T stanno a coppie 

 nei piani di un fascio, le F 3 aggiunte costrette a contenere due coniche 

 complanari di T hanno tutte come parte il piano delle due coniche, e perciò 

 (in generale) consentono di sostituire, nella costruzione della F 6 , un fascio 

 di quadriche al fascio di F 3 , ecc. E sarà pure facile scrivere l'equazione 

 della superficie costruita; dopo di che il suo studio ulteriore non presenta 

 più difficoltà essenziali. 



(') Enriques, Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche, Meni. Soc. 

 it. delle Se. (dei XL), (3) 10 (1896), pp. 1-81, n. 30. 



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