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4. Il procedimento ora esposto cade in difetto quando n= 1, mancando 

 allora il sistema aggiunto a quello delle sezioni piane. Si osservi però che 

 le superficie con sezioni piane di genere 1 sono note, e sono razionali o 

 rigate ; escludendo le rigate ellittiche, una F m con sezioni piane di genere 1 

 è proiezione d' una F m di S m (m <. 9), razionale, di cui è nota la rappre- 

 sentazione sul piano, e che (per m <. 8) contiene sempre uno o più fasci 

 di coniche ; anzi, in questo gruppo rientrano tutte le F m con più fasci di 

 coniche, come ora diremo brevemente. 



Quando per ogni punto d'una superficie passano due o più coniche gia- 

 centi su di essa, la superficie contiene due o più fasci di coniche, oppure 

 un sistema oo 1 di coniche di indice > 1, È noto che tali superficie erano 

 già state determinate dal Koenigs ('), con procedimenti che si possono però 

 notevolmente semplificare. Infatti la sezione piana generica d'una superficie 

 con più fasci di coniche (necessariamente tutti razionali) contiene più serie 

 lineari g\, e quindi è di genere od 1 ; mentre una superficie con un si- 

 stema oo 1 di coniche di indice > 1 possiede sempre un sistema lineare di 

 coniche (almeno oo 2 ) che contiene il precedente ( 2 ), che ha lo stesso suo 

 grado d, e quindi la dimensione d -\- 1 ( 3 ). Perciò la superficie contiene 

 sempre una rete omaloidica di coniche, che permette di rappresentarla sul 

 piano con un sistema lineare di coniche, per modo che le sezioni piane 

 risultano ancora razionali. Ricorrendo allora ai noti teoremi sulla riduzione 

 all'ordine minimo dei sistemi lineari di curve piane di genere od 1 (*), 

 si trova che le sole superfìcie normali per ogni punto delle quali passino 

 due o più coniche sodo le quadriche, la rigata cubica di S 4 , la superficie 

 del Veronese, la F 8 di S 8 rappresentata sul piano dal sistema lineare di 

 tutte le C 4 con due punti base doppi distinti e le F" di S„ sue proiezioni. 



Escludendo dunque le rigate e la superficie di Steiner, le F w con più 

 fasci di coniche (o, più generalmente, le F m luoghi di coniche con sezioni 

 piane di genere 1) sono determinabili come proiezioni di una F m di S™, 

 con m <.8. 



5. La dimensione dello spazio normale per una F m luogo di coniche 

 è facilmente determinabile nel caso di superficie razionali e vale m — n-\-l; 

 per superficie irrazionali poco si può dire, in generale, oltre ciò che è dato 



(') Koenigs, Détermination de loutes les surfaces plusieurs fois engendrées par 

 des coniques, Ann. éc. norm., (3) 5 (1888), pp. 177-192. 



( 2 ) Oastelnuovo ed Enriques, Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria 

 delle superficie algebriche, Ann. di matem., (3) 6 (1901), pp. 165-225, n. 17. 



( 3 ) Segre, Sui sistemi lineari di curve piane algebriche di genere p, Rendiconti 

 Palermo, 1 (1887), pp. 217-221. 



( 4 ) Per questi teoremi si veda ad es. Ferretti, Sulla riduzione all'ordine minimo 

 dei sistemi lineari di curve piane irriducibili di genere p; in particolare per i valori 

 0,1,2 del genere, Rend. Palermo, 16 (1902), pp. 236-279, teoremi VII e X. 



