2 , per tutti i valori reali di x e y; di più, valga sempre la rela- 



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ad eccezione di quello del § 4 (cap. I), come oasi particolari dai teoremi da 

 me enunciati in due Note inserite nei Comptes rendus del giugno 1914 ( 1 ). 



Nel § 4 citato, il Lichtenstein si occupa delle soluzioni periodiche del 

 problema di minimo studiato, e stabilisce la seguente proposizione: « Sia 

 ¥(x , y) una funzione finita e continua, insieme con le sue derivate parziali 



zione ¥(x -f- 2n , y) = ¥(x , y), ed esista un numero positivo y tale che, 



«il 



per ogni y^y , sia — > 0, e, per ogni y <. — y , — < 0. Ciò posto, 



~by ~òy 



fra tutte le funzioni y(x), continue insieme con la propria derivata prima 

 e soddisfacenti alla uguaglianza y{x -f- 27r) = y(x), ne esiste almeno una 



che rende minimo l'integrale ) 4" ^( aJ » ^) \d x 



Nelle pagine che seguono, mi propongo di mostrare come il metodo 

 da me indicato nelle Note sopra ricordate, permetta di trattare anche la 

 questione delle soluzioni periodiche, e in modo assai più generale di quello 

 che non sia consentito al Lichtenstein. 



Non sarà poi male osservare che il mio metodo serve allo studio della 

 medesima questione pure in quei problemi isoperimetrici dei quali è fatto 

 cenno nelle mie Note citate, e fra i quali rientra, come caso particolaris- 

 simo, quello considerato dal Lichtenstein al cap. I § 6 del suo lavoro. 



1. Sia f(x,y.y') una funzione finita e continua, insieme con le sue 

 derivate parziali dei due primi ordini, in tutto il campo definito dalle disu- 

 guaglianze 



( a <. x b 

 (A) J_a,<y < + oo 



( — oo <y'< + °°- 



Sia inoltre: 



a) f(a , y , y) = f(b , y , y'), per tutti i valori ammessi per y e y'; 



b) fy'y'^>0 in tutto il campo (A) ( 2 ) ; 



fy fy'x V fy'y 

 f y'y' 



essendo ?{y) e Q(y) due funzioni sottoposte alla sola condizione di essere 



c) 



< y" 2 P(y) + Q(y) . in tutti i punti di (A), 



(') Sur une méthode directe dn Calciti des Variations. La Memoria che contiene 

 gli sviluppi degli enunciati di queste Note è uscita da poco nei Rendiconti del Circolo 

 matematico di Palermo; essa nel seguito verrà indicata con (T). 



(') Si potrebbe considerare anche il caso che, invece della f y ' y ' > 0, fosse verificata 

 la fy'y' >.0\ non lo facciamo qui per semplificare i ragionamenti. 



