continue per ogni y Unito ; e si possano determinare dei numeri positivi 

 (>0) N , M , a , l, in modo che si abbia 



d) /"> — N in tutti i punti di (A), e f{x ,y , y')>>\y'Y+ % m{y) 

 in tutti quelli del campo parziale 



I a <_ x <. b 

 (A') _^<y< + cr, 



essendo m(y) una funzione continua, sempre maggiore di zero, tale che 



e) yf y >-0 in tutto il campo definito dalle disuguaglianze a<.x<ib, 

 \y\ -> ^ , — oo <^ y <^ -(- oo . Ciò posto dimostriamo che 



fra tutte te funzioni y = y(x) , assolutamente continue nell'inter- 

 vallo {a , b) e soddisfacenti alla condizione ?/(«)= y(b), ve n'è almeno 

 una che rende minimo l'integrale 



J= f f{x ,y , y') dx , 



cAé /e sue due prime derivate finite e continue e che soddisfa alla 

 equazione differenziale di Eulero e alla relazione y'(a) = y\b) [e quindi 

 anche all'altra y" {a) = y" {b)~] . 



Indichiamo con l'insieme delle funzioni y(x) di cui si parla 



nell'enunciato precedente, e con \}/{x)\i quello delle funzioni di \y(x)\ che 

 hanno almeno un valore compreso fra — lei (estremi inclusi). Siano i e i t 

 i limiti inferiori dell'integrale J rispettivamente in \y(x)\ e \y{x)\i. Dico 

 che è i = ii. Sia, infatti. y(x) una funzione di }#(cc){ non appartenente a 

 \y(x)\i. La y(x) dovrà necessariamente soddisfare in tutto (a , b) alla disu- 

 guaglianza y(x)^>l, oppure all'altra y < — /. Supponiamo, per fissare le 

 idee, che sia soddisfatta la prima. Allora, detto m il minimo di y(x) in (a,b), 

 consideriamo la funzione definita dall'uguaglianza y(x) = y{x) — (m — l), 

 la quale funzione, avendo il minimo uguale ad /, appartiene all'insieme 



\y{o-%. È 



f(x , y{x) , y\x)) = f(x , y{x) — (m — l) , y'(x)) , 

 e per la condizione e) 



f(x , y(x) . y'(x)) < f(x , ìj(x) . y'(x)) ; 



onde 



f{x , y(x) , y'{x)) dx <. f(x , y(x) ,y'(a)) da; . 



•J a <J a 



Questa disuguaglianza mostra che il limite inferiore i dell'integrale J in 



