— 320 — 



\y{x)\ non può essere inferiore a quello ì\ di J in \y{oc)\i. E poiché, d'altra 

 parte, non può essergli inferiore, ne viene quanto avevamo asserito, i=i lm 

 Dopo ciò, per i risultati del n. 33 della mia Memoria (T) citata, esiste 

 in \y(x)\i, una funzione y {x), almeno, che rende minimo l'integrale J. E 

 poiché, in seguito a quanto si è veduto or ora, y (x) rende minimo J anche 

 in \y{x)\, si può asserire (Cap. Ili della stessa Memoria) che y (x) ha le 

 sue due prime derivate finite e continue, e soddisfa all'equazione differenziale 

 di Eulero. Per mostrare che è y' {a) = y' (b) , ricordiamo che y (x) dà il 

 minimo di J fra tutte le funzioni di \y{x)\, le quali, circa gli estremi del- 

 l'intervallo (a,b). sono sottoposte alla sola condizione y(a) = y(b). La for- 

 mula ai limiti, che dà la variazione di J relativa a y a (x), si riduce nel 

 caso attuale a 



((TJ) = f y ,(a , y {a) , y' (a)) {óy ) a , — f y ,(b , j( (%i(*)) (<tyo)& , 



e dovendo essere (àj) = , (ày ) a = (óy ) b , risulta 



f y >{a , y {a) , y' (a)) = f y f{b , y (b) , y' (b)) - f y r(b , y (a) , y' {b)) , 



ed anche per la condizione a). 



fy<(a , y {a) , y' {a)) = />(« , y (a) , y' {b)). 



Questa uguaglianza mostra, in forza della condizione b), che è y' (a) = 

 = y'o{b). La proposizione enunciata è dunque pienamente stabilita. 



2. La condizione d) del numero precedente si è posta solo per poter 

 applicare i risultati di (T). Ora vogliamo osservare che quei risultati val- 

 gono anche se alla condizione detta se ne sostituisce un'altra un po' più. 

 generale e precisamente : 



d') se ad ogni numero positivo Y possono farsi corrispondere due numeri 

 «(> 0) e M(>> 0), tali che. in tutto il campo (A Y ) definito dalle disugua- 

 glianze a<.x^b , |y|<.Y , |«/|>.M, si abbia f{x , y ,.?/)> | y j 1+a . e 

 se, inoltre, rissato un qualsiasi Y, l' integrale J relativo ad una funzione 

 assolutamente continua y(x), avente almeno un valore minore in modulo 

 di questo Y, tende a -\- oo col tendere all'infinito del massimo di \y{x)\. 



Tale condizione risulta di certo verificata se si ha, p. es., /\x.y,y') = 



— — «K»,y), cou > c^y'^^ , q{x,y)<c % :<j\ l+ai -\-c 3 



{e 1 , Ci , c 3 , ai , a 2 , numeri >0). Ed invero, avendosi [ved. n. 8 di (T)J 



