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4. Supponiamo ora che, invece della condizione e) sia soddisfatta que- 

 st'altra : 



e') esistono quattro numeri l x •< l % < l 3 < l t , tali che, nel campo 

 definito dalle disuguaglianze a <_ <. b , /,<.?/<. 4 , — oo < oo, 

 sia /j,<0 e in quello a<_x<^b , l 3 ^y^l 4 , — oo < < -|- oo , f y ^>0; 

 inoltre, nei due campi detti la f(x,y,y'), come funzione di y', abbia un 

 minimo assoluto per y' = ('). 



Siano poi verificate le condizioni a), />), c), d) del n. 1, per tutti i 

 valori di x e y ivi considerati, e per quelli di y compresi fra / 2 e l 3 

 (estremi inclusi) Dico che. limitandosi alle funzioni y(x) assolutamente 

 continue in (a , b) e tali che sia y(a) = y(b) e li <. y{x) <. l t , vale anche 

 qui il teorema analogo a quello del n. 1. Ed invero, analogamente a quanto 

 si è fatto al n. 4, si può, ad ogni funzione y{x) di cui si parla, sostituirne 

 sempre un'altra y(x) soddisfacente alla nuova coudizione di verificare, in 

 tutto (a, b), la disuguaglianza l 2 <.y(x) < k ■ Se la y(x) soddisfa già da 

 sè a questa nuova condizione, non vi sarà che da porre y(x) = y{x); in 

 caso contrario, detto x un valore di (a,b) in cui è y(x)^>l 3 ., si consideri 

 il massimo intervallo di (a , b) che lo contiene e in cui è sempre z/(«r)_>/ 3 , 

 e si definisca in questo intervallo (e così in tutti gli analoghi) la y(x) 

 ponendola uguale a / 3 . Analogamente si proceda per quei punti in cui è 

 y(x)<C_l t . Nei punti rimanenti si porrà infine y{x) = y(x). La nuova fun- 

 zione y(x) appartiene alla classe di quelle del nostro enunciato; di più dà 

 all'integrale J un valore di certo non superiore a quello relativo a y(x), 

 come risulta chiaramente dalla condizione e'). Dopo ciò non vi è che da 

 ripetere il ragionamento fatto al n. 1 ( 2 ). 



6. Poniamoci di nuovo nelle condizioni del n. 1 ( 3 ), escludendo l'ipo- 

 tesi e), e aggiungendo invece quest'altra: esistono due numeri h e k. il 

 secondo dei quali sia > 0, in modo da aversi, in tutto il campo (A). 



Allora, fra tutte le funzioni y(x) assolutamente continue che verificano 



(') Per es., la funzione /'= y H -f- y 3 ■■ — y 2 soddisfa alla nuova condizione e'), ma 

 non alla e). 



(") In luogo della condizione e), può considerarsi anche la seguente: per ogni y 

 maggiore in modulo di un certo Y, è f(.%,y,y')'>\y\$, con j9 > 0, e ciò qualunque sia 

 la X di (a , b) e la y' di ( — oo , -f-oo). Con questa condizione il teorema del n. 1 resta 

 ancora vero. 



( 3 ) Naturalmente all'ipotesi d) può sempre sostituirsi la d')\ e si possono anche 

 tenere presenti le osservazioni del n. 3. 



(1) 



f\x ,y.y') = kf(a -f b — x , 2h — y, y') . 



la condizione y(a) = y\ — - — )=y(b) = h. 



ve riè almeno una che rende 



