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minimo l'integrale J, che ha le due prime derivate finite e continue e 

 che soddisfa all' equazione differenziale di Eulero e alla uguaglianza 

 y'{a)=y\b). 



Per quanto è stabilito nella mia Memoria (T), esiste almeno una fun- 

 zione y {x), avente le due prime derivate continue e soddisfacente, in 



t a , a ^ —\ , all'equazione differenziale di Eulero, la quale inoltre verifica 

 l'uguaglianza y 9 (a) = y ( j = h e rende minimo l'integrale 



( 1 f(x , y , y') dx 



fra tutte le funzioni assolutamente continue che assumono in a e a ~l~ ^ lo 



anza 



stesso valore h. Completiamo la y 9 (x) in ^"~~7r~ » mediante l'uguagli 



(2) y.{x) = 2h — y,{ a + b — x) . 



La y t (x) risulta allora continua in tutto (a , b), insieme con le sue 

 due prime derivate, e verifica le uguaglianze 



yo(a) = y t ^—^-) = y 6 (b) = h , y' {a) = y' (b) . 



Inoltre essa soddisfa, in tutto (a , b), adequazione differenziale di Eulero, 

 come si vede subito fondandosi sulla (1) e sulla (2) e sul fatto che tale 



equazione è soddisfatta dalla y*{x) nel tratto l a , ° ^ V Risulta poi im- 

 mediatamente che la y (x) dà il minimo richiesto. 



6. Si supponga la l'unzione f(x,y,y') definita non solo per i valori 

 di x dell'intervallo {a,b), ma per tutti i valori reali da — oo a -f~°°> 

 e sempre finita e continua, insieme con le sue derivate parziali dei primi 

 due ordini, e soddisfacente alla uguaglianza 



f(x+ b — a , y , y') = f{x , y , y'). 



Ferme restando le condizioni poste al n. 1, dal teorema ivi stabilito 

 si deduce l'esistenza di almeno una funzione y<,{x)'- 1°) sempre finita e 

 continua, insieme con le sue due prime derivate', 2°) soddisfacente ovunque 

 all'equazione di Eulero; 3°) verificante, per ogni x, l'uguaglianza 



y {x + b — a) = y t (x) 



