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2. È necessario premettere alcune considerazioni. 



Sia K(st) una funzione simmetrica delle variabili set, che supporremo 

 essere finita e continua; pur non escludendo che possa presentare delle di- 

 scontinuità tali, però, da non infirmare i risultati dello Schmidt ('). 



Indicheremo con YL(st) il lim ^ in ^> ; dove y = lim y n e y n = — ; 



n=ao y n—cc Ujji 



limite che, com'è noto ( 2 ), è una funzione continua positiva e non identica- 

 mente nulla. Analogamente con Hi(s^) il lim ^- a - n+ ^ s ^ ^ jj quale pure esiste 



n—aa / 



finito e non identicamente nullo ( 3 ). 



Supposto che A„ sia un autovalore di K(st) e (p^{s) una sua corrispon- 

 dente autofunzione, si moltiplichino successivamente i membri della seguente 

 uguaglianza 



(ft(r) = A„ | K(rt) <ps(t) dt 

 per K(sr)dr, e si integri da a a h. Dopo 2n integrazioni, s'otterrà 



?0 = X, \ b K in+1 {st) (p,(t)dt ; 

 ed ancora, dividendo ambo i membri per y n e passando al limite per n = oo , 

 lim-^f„ = A v r^isOy^dt. 



Ora, se 2, , / 2 , 2 3 , ... indicano gli autovalori di K(st), disposti in 

 ordine crescente rispetto al loro valore assoluto, è noto (*) che sussistono le 

 relazioni 



r ,u \» ( 1 se v = 1 

 hm (Il y) n = 



»=oo oo se v > 1 



(') Bntvjicklung willkùrlicher functionen nach Systemen vorgeschriebener. Inaugurai 

 Dissertation. Gflttingen, 1905. 



( a ) Schmidt, loc. cit., § 11. 

 ( 3 ) Si ha infatti 



H(si) = lim- C K{sr) dr = - f " K(sr) E t (rt) dr = - C E,.(sr)K(rt) dr 



n=»yj a y Vja y Ja 



quindi, se H,(si) fosse identicamente nulla in s ed in f, tale dovrebbe pure essere anche 

 Hfsf); il cne non è possibile. 



1 



è il minimo valore assoluto delle A u . 



( 4 ) Si sa infatti che 



V 



