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sarà quindi 



(1) x \[ bE ^^ dt =\ 9 flll^\ 



Il nucleo Hi(s£) non potrà perciò ammettere autovalori diversi da 



±—=, e di fronte a questi si comporterà come K(st); inoltre i nuclei H^) 



V r 



e ~K(st), per tali autovalori ammetteranno le stesse autofunzioni. 



Dalle (1) infatti, risulta senz'altro che ogni autofunzione di K(st), cor- 

 rispondente ad uno degli autovalori zh— =, lo è anche di H,(si). Per di- 



mostrare la proprietà inversa, basterà osservare che, se ìp(s) è una auto- 

 funzione di Hi(sì!), cioè se 



(2) f{s) = X l C ~S.i(st) tff(t)ét , 



^ a 



ip($) = X 1 [ K(sr) dr f E(rt) ip(t) dt ; 



J a J a 



e poiché 



E(rt) %f>{t) dt = xp{r) , 



come si vede subito moltiplicando i membri della (2) per R(rs)ds ed in- 

 tegrando, sarà pure 



rb 



ip(s) = X, | K{st) xp{t) dt . 



Dalle (1) risulta ancora che le autofunzioni di K(st) corrispondenti agli 

 autovalori X s (v > 1), sono invece soluzioni dell'equazione 



H,(s*) 0(t) dt = . 



3. Noteremo ancora che se <^ <r) (s) e 5Pi" <r) ( s ) rappresentano rispettiva- 

 mente le pi e p 2 autofunzioni linearmente indipendenti normalizzate del 



nucleo K(st), corrispondenti agli autovalori X[ — -j — ^= e X[' = ^= , la 



Vy Vy 



Ei(st) può mettersi sotto la forma ( 2 ) 



(') Qui, per comodità, a k, attribuiamo ambedue i valori =fc —= . 



VY 



(•) Schmidt, loc. cit., § 8. 



