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come autovalore, uno dei due numeri p x e p» sarà nullo; dovrà quindi, sus- 

 sistere una delle due segueuti uguaglianze 



le quali ci forniscono un criterio per riconoscere a priori quale dei due 

 valori ± -4= è ammesso dal nucleo K(st) come autovalore. 



Vy 



4. Ciò posto, si consideri la l'unzione simmetrica 

 W(st) = K(st) — E 1 {st) , 



la quale, come ora dimostreremo, ha gli stessi autovalori e le stesse auto- 

 funzioni di K(st), eccettuato il solo autovalore |^i| = 



Vy 



e le corrispon- 



denti autofunzioni. 



Invero, se h è un autovalore di K(sl) e g>v(s) una sua corrispondente 

 funzione, sarà 



L, \ b Y (2) (st)^{t)dt = X^ f K(st) q> H (t) dt — X u C H.,(st) <pv(t) dt ; 

 e poiché 



Jo ^ ^ ^ ^ ( se ,>! ' 



avremo, se r = 1, 



(7) A, C b 9l (t) di =0 



-> a 



per ogni autofunzione (pi{s) corrispondente all'autovalore X x ; 



e se v . ^> 1 , 



fV 2) (s/) y\{t)dt= K r K{st) y„(t) dt = g>*(t) . 



J a Ja 



Quindi tra gli autovalori e le autofunzioni di F (2) (s/), figureranno gli 

 stessi valori X^ e le stesse <jp.»(s) (v > 1). 



Inversamente, se A è un autovalore di ¥ ls) (st) e ip(s) una sua corri- 

 spondente autofunzione, sarà 



X {\ m {st)\p{l)dt = X C K(st) ìff(t) dt ' — X { b H. ì {st)xp(t)dt = 'ip{s) . 



