quindi gli spazi lineari di dimensione massima contenuti nell' ipersuperfìcie F 

 si otterranno considerando in 2 i sistemi lineari di dimensione massima di 

 complessi dotati genericamente di retta-asse e le cui rette-assi si taglino 

 a due a due. 



Ma se più rette si tagliano a due a due o stanno in un piano o pas- 

 sano per uno stesso punto, dunose : 



In ogni caso gli spazi lineari di dimensione massima di F hanno 

 la dimensione p(2p — 3); però se p~^> 2 codesti S P(ìp - 3) di F costituiscono 

 un unico sistema continuo oo 2 ?' -1 , rispecchiantesi nel modo chiarito più 

 sopra sugli oo 2 *'- 1 punti di 2, mentre se p = 2 codesti spazi di F [che 

 sono adesso degli S 2 ) si distribuiscono {come è ben noto, una volta che 

 per p = 2 F è una quadrica) in due sistemi continui oo 3 rispecchiantisi 

 l'uno, al solito modo sugli oo 3 punti di 2, l'altro sulle oo 3 reti di com- 

 plessi lineari speciali di 2 aventi per assi le rette dei singoli piani di 2. 



Se un punto di 2 è razionale, è evidentemente razionale 1' S Pi ì P - 3) di S 

 situnto su F, che ad esso corrisponde; e se un S p(2p -3) di F è razionale, 



e che nell'equazione del secondo complesso sono nulle tutte le a' r ,t V ev cu i uno qualunque 

 dei due indici è un numero della successione 



2Z + l,2J + 2,...,4l. 



Poiché l'asse di un complesso è il luogo dei suoi punti singolari, nessuno dei due 

 complessi dati ha punti singolari esterni al proprio asse; e quindi, in virtù dell'ipotesi 

 fatta, ciascuno dei due complessi induce sull'asse dell'altro un sistema nullo non singolare. 

 Queste due osservazioni portano, in particolare, che i determinanti 



U 



<ZaJ-t-2,2H-i 



flaJ-(-i,2H-2 







flaH-i.aj) 



flay.aj-i-i 







a i,a£ 



a al,i 0, ai, a 







sono entrambi diversi da zero. 



Se i complessi del fascio determinato dai due complessi dati fossero tutti singolari 



l'equazione in - che si ottiene ponendo uguale a zero il determinante | Aa r ,t + l*o!r,t\ 



dovrebbe essere un'identità. Ma ciò è impossibile perchè, divisi per fi gli elementi delle 

 prime 21 righe e fatto poi k = 1 e f* = , questo determinante si riduce al prodotto 



dà', 



dunque è assurdo supporre che i nostri due complessi generino un fascio di complessi 

 tutti singolari; e ciò basta a dimostrare l'afférmazione del testo quando si rifletta che, 

 se i complessi di un fascio sono tutti singolari, l'asse del complesso generico ha una 

 dimensione fìssa. 



Del resto la cosa stessa può dedursi da teoremi del sig. Palatini contenuti nella 

 sua Nota: Sui complessi lineari di rette negli iperspazi (Giornale di Matematiche di 

 Battaglini, voi. XLI, 1903, pp. 85-96). 



