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tale è pure il corrispondente punto o piano di 2 poiché in tal caso 1 Sp ( 2p— s) 

 considerato contiene p(2p — 3) +1 punti razionali indipendenti a cui rispon- 

 dono in 2 altrettanti complessi singolari razionali, e gli assi (razionali) di 

 questi complessi determinano il punto o il piano rispondente a queir Sp ( 2p-. S) . 

 Quindi possiamo dire che : 



V ipersuperfìcie F contiene infiniti spasi razionali della dimensione 

 p(2p — 3). Se p > 2 tali spazi razionali cosliluiscono un unico insieme 

 riftetlentesi sull'insieme dei punti razionali di 2; se p = 2 essi possono 

 distribuirsi in due insiemi dei quali uno si rispecchia sull'insieme dei punti 

 razionali di 2, e l'altro sull'insieme dei piani razionali di 2. 



5. Adesso supponiamo che Y p sia k volte singolare. 



Poiché ogni relazione di Riemann di Y p dà luogo ad un sistema nullo 

 di Y p ( 15 ), e quindi a un complesso razionale di A, possiamo dire che: 



Se V p è k volte singolare, lo spazio 2' contiene k -f- 1 punti razio- 

 nali indipendenti e non più. 



Chiamiamo fi l' S* razionale contenente tutti i punti razionali di 2'. 



Poiché l'esistenza di un sistema regolare di integrali semplici di prima 

 specie riducibili di V p dà luogo all'esistenza di un sistema nullo (almeno) 

 di Y p avente per asse l'asse del sistema, e poiché inversamente ad ogni 

 sistema nullo singolare di Vp risponde un sistema regolare di integrali 

 riducibili avente per asse l'asse del sistema ( 16 ), possiamo dire che: 



La varietà Y p ammette sistemi regolari oci- i di integrali riducibili 

 quando e solo quando fi contenga punti razionali appartenenti ad F ( ?\ 

 ma non ad F ( 9 +1) se q <C p — 1 • 



La corrispondenza, ora considerata, fra i sistemi regolari oo? -1 di Vj, 

 e i sistemi nulli singolari di Vp dotati di un S ?g _i asse è biunivoca celta- 

 mente se q—p — 1, poiché un sistema nullo singolare di specie 2(p — 1) 

 in un S 2 p_! è individuato dal suo asse, dunque: 



Tanti sono i sistemi regolari <xp~ 2 di integrali riducibili di Vp, quanti 

 sono i punti razionali di fi appartenenti ad F^ -1 '. 



6. Se lo spazio fi ha una dimensione k^2p — 1, ogni Sp (2 p_ 3) razio- 

 nale di P taglia fi in uno spazio razionale S f appartenente ad F ( " per la 

 cui dimensione t si ha: 



t > k + p(2p — 3) — p(2p — 1) + 1 > 2p — 1 + 



+p{2p - 3) — p(2p - 1) + 1 = ; 



dunque F U) contiene intanto infiniti punti razionali. D'altro canto è facile 

 persuadersi che gli infiniti punti razionali di F ll) a cui dànno luogo gli 

 infiniti Sp (2 p_ 3) razionali di F riflettentisi sui punti razionali di 2, non 



( ls ) Loc. cit. 3 >, Nota II, n. 10. 

 C 6 ) Loc. cit. 3 \ Nola II. n. 19. 



