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possono rispondere che a infiniti sistemi regolari distinti di integrali ridu- 

 cibili di Y p , quindi: 



Una varietà algebrica di irregolarità superficiale p~^>\ che sia 

 almeno 2p — 1 volte singolare, contiene necessariamente infiniti sistemi 

 regolari di integrali riducibili ( n ). 



Le dimensioni di questi sistemi regolari dipendono dalle molteplicità 

 che presentano per F C1) i suoi punti razionali: in particolare la varietà 

 conterrà integrali ellittici solo se F ( ° contiene punti razionali semplici. 



7. Se k = p % — 1 (e come dimostreremo tra poco questa ipotesi è pie- 

 namente legittima), lo spazio /.i coincide con 2'. 



L'intersezione di fx , cioè di 2\ con un S Pi 2 P - 3) di F corrispondente 

 a un punto M di 2 è lo spazio lineare di F (1> , della dimensione 



che rappresenta i complessi lineari di A, aventi per spazio singolare la 

 retta m uscente da quel punto e appoggiata are?. 



Se 1' Sp (iJ ,_ 3) di F che si considera è razionale, cioè se è razionale il 

 punto M, tale è pure la sua intersezione con lo spazio razionale 2' e la 

 retta m; quindi questa retta m è l'asse di un integrale di Y p che risulta 

 ellittico. 



Si conclude che Y p ammette infiniti integrali ellittici, e che dell'insieme 

 degli assi di questi integrali ne passa uno per ogni punto razionale di 2'. 

 Ma allora (come si riconosce subito segando, p. es., con un iperpiano razio- 

 nale di 2') ogni retta reale appoggiata a x e t è retta limite dell'insieme 

 degli assi di questi integrali, e quindi ogni integrale semplice di J a specie 

 di Y p è approssimabile mediante integrali ellittici. 



8. Adesso supponiamo inversamente che ogni integrale semplice di 

 l a specie di Y p sia approssimabile mediante integrali ellittici. 



Allora si riconosce subito che combinando linearmente questi integrali 

 ellittici a due a due, a tre a tre , ... a p — 1 a p — 1 si ottengono infiniti 

 sistemi regolari di integrali riducibili di Y p delle dimensioni 1,2,..., 

 p — 2 ; e si vede pure, considerando l'asse di un sistema lineare co^ -2 di 

 integrali semplici di l a specie di Y p come lo spazio congiungente gli assi 

 di p — 1 integrali indipendenti del sistema, che codesto asse si può consi- 

 derare come limite di assi di sistemi regolari di integrali riducibili di Y p 

 aventi la dimensione p — 2. 



(") L'aver dimostrato che P non ammette spazi lineari di dimensione superiore a 

 p(2p — 3) prova che con ragionamenti analoghi a quelli del testo non si può assicurare 

 l'esistenza su V p di sistemi regolari di integrali riducibili dalla sola ispezione dell'indice 

 di singolarità di V p , finché questo indice è inferiore a 2p — 1. Del resto che questo 

 non possa farsi in alcuna maniera può essere stabilito con esempì. 



