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Ciò porta che su F <p_1) esistono infiniti punti razionali, e che ogni 

 punto reale di F ( p- n è limite per l'insieme di codesti punti razionali. 



Segue che lo spazio razionale fi contenente tutti i punti razionali di 

 F (1) contiene tutti i punti reali di F ( ^ _1) , cioè F ( p _1) ; e quindi fi coincide 

 con lo spazio di appartenenza di F ( ^ _l> , cioè con 2'. Il che vai quanto dire 

 che, nell'ipotesi fatta, l'indice di singolarità di Y p è appunto p* — 1. 



9. Perchè le considerazioni dei due ultimi numeri non siano illusorie, 

 e perchè resti compiutamente dimostrato il teorema enunciato nell'introdu- 

 zione (Nota I), occorre e basta far vedere che: 



Esistono effettivamente delle varietà algebriche Y p di irregolarità 

 superficiale p^>ì. il cui indice di singolarità eguaglia p 2 — 1. 



Per questo, si consideri la matrice 



(I) 



e posto 



«1,1 «1,2 

 <W 2 ,1 «2,2 



,2p 



'2,21 



CO 



Op,2 



"p, ìp 



{i = y— 1 ; j = 1 , 2 p ; r = 1 , 2 , ... , 2p) 



con le ccj^ e reali, si supponga che le a^ r e $, r siano tutte numeri 

 interi e che il determinante 



•i,i 



^1,1 



&p, ìp 

 l J \,2p 



fip,l /^p,2 • • • §p.1p 



sia diverso da zero. 



Dico che la tabella (I) (ove si suppone naturalmente p^>l) può con- 

 siderarsi come la tabella di 2p sistemi primitivi di periodi di un corpo 

 di funzioni abeliane a p variabili indipendenti. 



E infatti, in uno spazio 2 a 2p — 1 dimensioni, nel quale sia fissato 

 un sistema di coordinate proiettive omogenee, si considerino i punti to x , 

 oo t , ... , ùo p le cui coordinate sono date dagli elementi delle righe della ma- 

 trice (I); per l'ipotesi fatta sul determinante (II) i punti <»1 , Wj , ... , (tip 

 saranno indipendenti, e l'S^i,T, che li congiunge sarà indipendente dal- 

 l' S p _! imaginario coniugato t . 



Le jp(p — 1) rette che congiungono a due a due i punti Wj (y=l, 

 2,... ,p) e le \p{p — 1) rette che congiungono a due a due i punti imma- 



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