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ginarì coniugati ai punti uj hanno per coordinate numeri complessi aventi per 

 parte reale e per coefficiente dell' imaginario i dei numeri interi; quindi 

 perchè un complesso lineare di 2 rappresentato da una equazione del tipo 



1.„2J3 



y_ a r , s x r y s = (a r , s + a s , r = 0) 



r,s 



contenga tutte le rette di % e t [per il che occorre e basta che contenga 

 le p(p — 1) rette ora nominate], bisognerà che i coefficienti a r , s della sua 

 equazione soddisfacciano a p(p — 1) equazioni lineari omogenee a coefficienti 

 interi. 



Segue che se si introduce, come più sopra, uno spazio S a p(2p — 1) — 1 

 dimensioni a rappresentare, nel modo già dichiarato, i complessi lineari di 2, 

 lo spazio 2' di S, rappresentante i complessi lineari di 2 che contengono 

 tutte le rette di t e ?, è uno spazio razionale. 



Ma allora, se P (l> è l'ipersuperficie di 2' rispondente alla totalità dei 

 complessi singolari di 2 che contengono le rette di t e t . esiste certo qualche 

 punto razionale di S appartenente a 2' e interno alla prima falda di P (1) , 

 poiché i punti reali di 2' interni alla prima falda di P (l) costituiscono un 

 dominio a p 2 — 1 dimensioni, e i punti razionali di S situati in costitui- 

 scono in 2' un insieme di punti dovunque denso; quindi, in base all'inter- 

 pretazione geometrica del teorema di esistenza delle funzioni abeliane che noi 

 abbiamo stabilita altrove ( 18 ), la nostra affermazione relativa alla tabella (I) 

 è pienamente dimostrata. 



Ciò posto, si consideri una varietà abeliana di rango 1 appartenente alla 

 tabella (I); cioè una varietà di dimensione p che ammetta una rappresen- 

 tazione parametrica per funzioni abeliane di p parametri appartenenti alla 

 tabella (I), la rappresentazione essendo tale da far corrispondere ad ogni 

 punto della varietà, a meno di periodi, un sol gruppo di valori dei parametri. 



Tale varietà abeliana sarà appunto di irregolarità superficiale p ^> 1 

 e avrà per indice di singolarità ji 2 — 1. 



('») Loc. cit. 5 >, n. 55. 



