una sua trasformata 2 i formano le due falde di un inviluppo di sfere a 

 due parametri, le linee di curvatura corrispondendosi sopra 2 , 2 t , ed a 

 queste corrispondendo un sistema coniugato sulla superficie luogo dei centri 

 delle sfere. Darboux trovò che la determinazione di queste trasformazioni D m 

 dipende dalla integrazione di un sistema differenziale lineare, completamente 

 integrabile. 



Nella Nota 2, Bianchi ha dimostrato che ogni trasformazione D m di 

 una superficie isoterma 2 dà luogo ad una soluzione del corrispondente 

 problema di rotolamento, nella quale la superficie luogo dei centri delle 

 sfere è la superficie d'appoggio S, e la rotolante S resta intrinsecamente 

 definita dalla proprietà che il sistema coniugato comune ad S e S è appunto 

 quello che corrisponde alle linee di curvatura di 2. 



Ora Ribaucour ha considerato, in generale, gli inviluppi di sfere a due 

 parametri tali che le linee di curvatura si corrispondono sulle due falde 

 dell'inviluppo. Diremo che queste due falde derivano l'una dall'altra per 

 una trasformazione di Ribaucour. Evidentemente una trasformazione D m di 

 una superficie isoterma è una trasformazione di Ribaucour. 



Nella presente Nota mi propongo di dimostrare che le trasformazioni D m 

 sono le uniche trasformazioni di Ribaucour che diano al tempo stesso una 

 soluzione del problema di rotolamento. 



2. Sia 2 una superficie, riferita alle sue linee di curvatura (u , v) ; 

 r, , r 2 indichino i raggi principali di curvatura normale ; X 3 , Y 3 , Z 3 i coseni 

 di direzione della normale a 2, e 



(1) ds ì = ^du ì -\-G i dv ì 



il quadrato dell'elemento lineare. Sia M un punto variabile sopra 2, ed M 

 il corrispondente punto sulla superficie (rotolante) S , nel senso indicato 

 da principio, situato quindi sulla normale alla 2 in M. Se adunque x,y,z 

 sono le coordinate cartesiane di M , e x , y a , s quelle di M , avremo 



X,, = X + RX 3 , y t = y-\- RY 3 , £ = * + RZ 3 , 



dove R è una funzione di u , v da determinarsi. 

 Definiamo le funzioni hi , h t colle formole 



(2) /* 1 = 1 /e(i+^) , hì = \/G(l+f-y 



Bianchi ha dimostrato (Nota 1) che R deve soddisfare all'equazione 



e che, inversamente, ogni soluzione di questa fornisce una superficie S 

 (d'appoggio) per la superficie 2 come superficie di rotolamento. 



