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Calcolando eolle (4) e (5), questa si riduce alla 



(8) pl/&-\-q0 = 0, 



nella quale, come al solito, f~E , f/G indicano i valori positivi dei radicali. 

 Lo stesso significato avendo f/Ei ,\/Gi , dove E t , G, sono i corrispondenti 

 coefficienti per la superficie trasformata 2 X , abbiamo due diversi casi da 

 considerare, e cioè 



(9) P = |/e7 , q = V'G l , 

 ovvero l'altro 



(10) p = -yw i , q = l/G[. 



Ma il caso (9) è incompatibile colla (8), per la convenzione sui segni 

 dei radicali; e resta quindi solo il caso (10), nel quale la (8) diventa 



f/E • f/G~ = f/G • I/ET . 



Siccome le linee di curvatura sono le linee coordinate sopra I e 2 b 

 ne segue che la rappresentazione dell'una superfìcie sull'altra è conforme. 

 Ma Darboux ha dimostrato (loc. cit.) che le trasformazioni D m delle super- 

 ficie isoterme e quelle di Kibaucour colle sfere ortogonali ad una sfera fissa 

 sono le uniche trasformazioni di Ribaucour per le quali la corrispondenza 

 è conforme. Nello stesso tempo egli ha provato che per le trasformazioni 

 del secondo tipo è il caso (9) che si presenta. Concludiamo quindi: 



Le trasformazioni D m delle superficie isoterme sono le uniche 

 trasformazioni di Ribaucour che danno una soluzione del problema delle 

 superficie di rotolamento. 



In una Nota successiva stabilirò un teorema, in certo modo duale di 

 questo, che cioè le trasformazioni E m delle superficie con rappresentazione 

 isoterma delle linee di curvatura sono le uniche trasformazioni di Ribaucour 

 che dànno una soluzione del problema degli inviluppi di rotolamento, per 

 usare la terminologia usata da Bianchi in due Note in questi Rendiconti ( 1 ). 



(>) Voi. 23, pag. 3; e voi. 24, pp. 366-369. 



