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Matematica. — Sulla necessità della condizione di Weier- 

 strass per l'estremo degli integrali doppi. Nota di Eugenio Elia 

 Levi, presentata dal Socio Luigi Bianchi (*). 



La teoria dei massimi e dei minimi degli integrali doppi, quale è 

 esposta nei trattati più noti, presenta molte lacune: manca, ad esempio, la 

 dimostrazione che la condizione di Weierstrass è necessaria. Per quanto 

 tale dimostrazione non presenti difficoltà di natura essenziale, può essere 

 utile l'esporla brevemente. 



1. Supponiamo che l'integrale di cui si cerca l'estremo sia 



(1) l{z]=jjj{xyspq)dsedy ; z = s(xy) , p = ^ , q = ~ ; 



dove C rappresenta un'area assegnata del piano xy che si suppone limitata 

 da una curva regolare c , f(xy spq) è una funzione finita e continua colle 

 derivate dei primi due ordini in un certo campo R dello spazio [x , y , s) 

 e per valori arbitrarli di p e di q. Sia s = £(xy) una funzione avente le 

 derivate prime finite e continue, che dia ad (1) il massimo o il minimo 

 valore rispetto alle superfìcie di un certo intorno di ordine 0, le quali assu- 

 mono gli stessi valori sul contorno e di C. 



Poniamo n{xy) = — - , % = — ; e in generale conveniamo che quando 



~^bx ~òy 



in una funzione contenente s e le sue derivate, si sostituiscono a queste f 

 e le derivate corrispondenti, si indichi il risultato della sostituzione colla 

 lettera greca corrispondente alla latina con cui quella è indicata. 



Sappiamo che £(xy) deve essere tale che, per qualunque funzione co(xy) 

 avente derivate prime finite, sia 



(2) JJ (> 2 co -j- (p p co x + y 3 Wy] dx dy = ; 



e si sa che perciò, se si ammette che £{xy) abbia pure le derivate seconde, 

 essa deve essere un estremale, e cioè soddisfare all'equazione di Lagrange 



(3) SP.-^-^SPt-O. 



( ! ) Pervenuta all'Accademia il 28 settembre 1915. 



