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Ammettiamo soddisfatta questa coudizione : e dimostriamo che affinchè 

 £(xy) dia a I[Y] per es. il valore minimo, occorre che in ogni punto x«y 

 interno a C e per tutti i valori di a e § 



{14) E(x , y , f , n + a , xo + § ; 3To , Xo) = 



= f(x 9 , y , Co , re, + « , Xo + P) — 9>(#o yo) — 



— txg>p(%o y*) — P<Pq{x<> y )^0; 



dove £ =C(x yo) > = n{%oyo) , Ko^xC^o^o), e come si disse (f>(x y ) = 

 = f(x yoCc^oXo) ecc. 



2. Per semplificare i calcoli che seguono, osserviamo che ci si può 

 sempre ridurre al caso in cui a > , § = , x = y = 0. Quando ciò 

 non sia, poniamo 



(5) a = £ cos 6» , § = q sen , q > ; 

 e facciamo il cambiamento di variabili 



(6) £c = <£ -j- x' cos 6» — y sen ?/ = y -j- ce' sen -f- y' cos 6* . 



Aggiungendo un apice indicheremo le quantità relative alle nuove variabili; 

 così C indicherà il campo corrispondente a C nelle variabili (x'y'), sarà 



(7) z>{x'y') = z{ocy) = 



= s{x<> -f- x cos — y' sen , y -j- sen -f- y' cos 0) , 



e quindi 

 (8) 



( q ' 



ed analogo significato avranno • I ja funzione £'{x'y') darà il mi- 



nimo all' integrale 



(9) I' [/] = Jj t f'ix'y'z'p'q') dx'dy' , 

 dove 



(10) f'(x'y's'p'q') = f(xyspq) = 



= f(x -f- a;' cos — sen , ^ -f- x' sen + «/' cos , 

 / , p' cos — sen , // sen + <?' cos 0) . 



= — f = jt? cos -\- q sen , 



^'(x'y') a . 



= — , = — p sen + <7 cos . 



V 



D'altra parte indicando ancora con E' la funzione analoga a E costrutta 



