mediante la f e la f avremo identicamente da (8) e (IO) 



(11) E(£o , y 1 Co > + « , Xo + § ; • Xo) = 



= E'(0 , , fi , tt; + 9 , $ ; ttJ , $ ; 



cosicché per dimostrare la (4), basterà dimostrare la disuguaglianza 

 E'(0 , , , ni -|- q , xò ; **; , xo) , 



che è l'analoga della (4) per l' integrale (9), e per « = £ > , § = , 

 #o = = . 



Ci limiteremo dunque a dimostrare che per il minimo, occorre che 



(12) E(o , o , e i w + « , xo ; *o , Xo) = 



= f(0 , , Co , + « , Xo) — ?(0 , 0) - a g> p (0 , 0) > ; a > 0. 



3. Ciò posto, preudiamo due numeri a e b positivi e tali che il rettan- 

 golo di vertici (0 , — a) , (b , — a) ,(b,a) , (0 , a) sia interno a C : e sia e 

 un numero tale che 



0<é<a , « 3 <6. 



Il rettangolo R e di vertici (0 , — e) , (b , — *) , (b , e) , (0 , e) è allora 

 interno a C : ed il punto (« 3 , 0) è interno a R e . Costruiamo allora una 

 funzione variata g(x ,«/;«) colle regole seguenti : 

 1°) nel campo C — R 5 sia 



(13) z{x ,y;e) = £(x , y) ; 



2°) nel triangolo T £ di vertici (0 , — e) , (e 3 , 0) , (0 , e) sia 



(14) i{xy ; s) = £(x , y) -f- ax ; 



3°) nel campo R s — T e (che è un poligono concavo di 5 lati) poniamo 



(15) &{xy ; *) = t{xy) -f- (o{s?y ; «) , 



dove &>(#?/ ; «) è una funzione avente le derivate prime quasi ovunque e sod- 

 disfacente in R s — T 2 alle disuguaglianze 



(16) 



\<°{xy ; *)l< lt * 



/« 2 



e che sul contorno del campo R s — T e prende gli stessi valori già dati 

 dalle formule (13), (14); e cioè sui tre lati r e appartenenti al contorno di 

 R e è nulla; mentre sui due lati t't t t" di T s , i quali rispettivamente con- 

 giungono i punti (0, — e) (f 3 ,0) e (0,«) (« 3 ,0) e quindi hanno le equazioni 



(17)' 



x = e*(y + e) 



(17)" X = -e\y-e), 



