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dove f Z 2 ... sono valori delle derivate seconde di f(x ,y , s , p , q) in punti 

 della forma (x , y , £ -f- 0tw , n -f- , X H - • Se quindi N è il massimo 

 valore assoluto delle derivate seconde di f(x,y,z,p,q) in un intorno dei 

 valori per cui xy è in Rè , z == £ (xy) , p = n(xy) , q = %{ùty) , avremo per 

 (16), se f è sufficientemente piccolo 



(28) J £ _ t 1 7*» <» 2 + 2 Ap » W. H h A» < | dx dy < 



<0/N^£< ff dxdy<gì^iHe 5 , 



poiché l'area di R 6 — T e è minore di quella di R e e cioè di bs . 



D'altra parte integrando per parti al modo di Lagrange nel primo ter- 

 mine del secondo membro di (27), e rammentando che £ soddisfa la (3), 

 e che (o(xy) è nulla sul contorno di R= — T s fuorché sui segmenti t[ e t" 

 di equazioni (17), in cui essa assume i valori (18), avremo 



(29) [y> z (o -f- g> p u> x -f- (p q co y ~] dx dy = 



[ \~\y + «) [?; - * 8 ] dy -J\y - e) w; + < rfy , 



Off' 



dove . <p' q indicano le <p p ,<p g calcolate nei punti (17)', e tp'v e (p' q r quelle 

 calcolate nei punti (17)". Ma per le ipotesi da noi fatte è sempre in R s 



|SP 9 (^)|<M 

 \9,p{xy) : — »p(00)|<4N/t[|a;| + |y|] ; 



quindi avremo per (29) 



(30) \jp z m -f- q>„ tù x -f- g> g toy'] dx dy -f- «* 4 9>p(0 0) = 



J J-Ri—Ti 



= | Q^y + •) j {.fv - <Pp(0 0)] - <p' q ? | rfy - 



— p(y - f ) S l>; - 9.(0 o)] + * 2 J <%J j < 



< a* 2 |~(8 N ìw e 2 + M * 3 ) j~°dy + (8Nfi? ! + M f 3 ) rfyj < 

 <= ae 5 (16N/t-J-2Me), 

 poiché nei punti di t\ e i" è sempre |#| -f- \y\ <C 2f . 



