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Si noti, inoltre, che, indicando con p c il genere di c, e con pi il genere 

 di I 2 , cioè di (k), è (per la formula di Zeutben) ó = 2(p c -j- 1) — 4p(. 



§ i; 



2. Sia fi = 3. 



Giacché è ó ]> e à' > 0, dalla (1) si deduce s = l. 



Inoltre, siccome certamente esistono piani tangenti a tre coniche di (A), 

 ma non a tutte le coniche di questo fascio, così è sempre d _> 3 ; anzi 

 ó _> 4 e, quindi, ó' 2. 



3. Cominciamo a supporre che (ti) sia gobbo (e quindi razionale). 

 Per d' = la (1) dà à = 6, e quindi (n.° 1) p c = 2. 



Dunque y è proiezione della superficie y x , dell' S 5 , rappresentata, nel 

 piano, dal sistema lineare |AV, 2i 3i 4) 5i 6)7 |, ove i punti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sono 

 in posizione generica tra loro. 



I piani delle coniche di rappresentate dal fascio |AJ|, generano una 

 varietà (a tre dimensioni) la quale, come facilmente si dimostra, è d'ordine 

 tre. Proiettando dunque y x da una retta generica, dell' S 5 ambiente, in uno 

 spazio ordinario, si ottiene una superficie y avente un fascio di coniche (k), 

 e i piani di queste costituiscono un inviluppo gobbo di classe \i = 3. 



4. Per S'=l la (1) dà ó=4, e quindi (n.° 1) p c =ì. 



La superficie y è dunque proiezione della superficie y, , dell' S 6 , rap- 

 presentata nel piano dal sistema lineare |A? )2l3 |. 1 piani delle coniche del 

 fascio (#1), rappresentato da generano una varietà (a tre dimensioni) 

 d'ordine quattro. Ne segue che, per ottenere la superficie y in esame, basta 

 proiettare y ì da un piano « che incontri (genericamente) un solo n x dei 

 piani generatori della detta varietà. La traccia, nello spazio ordinario su 

 cui si proietta, dell' S 4 = (an l , è quella retta (doppia per y) che, contata 

 due volte, è una conica del fascio (k) proiezione di (ki). 



5. Supponiamo, ora, che l'inviluppo (71) sia conico, e indichiamo con V 

 il suo punto-base, punto che non appartiene a y, ovvero è triplo per questa 

 e punto-base per (k). 



Sia pi = 0, cioè (n) sia razionale. 



Ragionando come nel n.° 3, si dimostra che, per ó' = 0, y è proiezione di 

 una superficie /i , dell' S 5 , rappresentata nel piano dal sistema |Ais, s , Sl 4> Bl . e> 7 |, 

 ove i punti 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7 non sono in posizione generica tra loro, ma 

 come ora si dirà. 



Se i punti 2, 3, 4, 5, 6, 7 appartengono ad una stessa conica <?', questa 

 è immagine di una conica c x di , sulla quale le coniche del fascio (#1), 

 rappresentato da |A}| , segnano un'involuzione (quadratica) ; sia Vi il centro 

 di questa. È chiaro che, proiettando y x da una retta generica, si ottiene 

 nello spazio ordinario una superficie y avente un fascio di coniche (k), i 



