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cui piani inviluppano un cono razionale di classe /t = 3; e il vertice V di 

 questo cono, proiezione di V, , non appartiene a y. 



6. Se supponiamo, in particolare, che i 7 punti (n.° 5) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 

 giacciano in una stessa conica c', questa rappresenta un punto V! che è 

 triplo per y x e punto-base per il fascio (k x ). Ne segue che. proiettando y t 

 da una retta generica, si ottiene una superfìcie y con un fascio di coniche (A), 

 i cui piani inviluppano un cono razionale di classe ^ = 3; il vertice di 

 questo cono è un punto V triplo per y e punto-base per (k). 



7. Sia ora ó'=l, pur essendo ancora (tv) razionale; sarà ò = 4. e, 

 quindi, p c = 1. 



La superficie y è dunque proiezione della superficie y ì} dell' S,,, rap- 

 presentata nel piano dal sistema lineare \X], 2) 3 |. 



a) Siano 1, 2, 3 in posizione generica tra loro. Allora le coniche 

 di y, del fascio (k x ), rappresentato da \À{ , punteggiano proiettivamente le 

 rette sghembe aventi per immagini il punto 1 e la retta A 1 ,, 3 ; le congiun- 

 genti i punti omologhi generano quindi una schiera rigata. Ebbene, si scelga 

 come piano centro di proiezione un piano generico o) che incontri (in un 

 sol punto P non di y,) questa schiera rigata, e si proietti y x in uno spazio 

 ordinario 2; si otterrà la superficie y richiesta. Infatti per P passa una 

 generatrice g della schiera trasversale di quella detta poco sopra, genera- 

 trice che è incontrata da tutti i piani delle coniche di (#,). Ne segue che 

 per il punto V, traccia in 2 dello spazio mg, passeranno tutti i piani delle 

 coniche del fascio (k) proiezione di (k x ). Inoltre quella conica di (k x ), com- 

 planare con P, dà la retta doppia di y, retta che, contata due volte, è una 

 conica di (k); evidentemente l'inviluppo (n) dei piani delle coniche di (#), 

 è razionale e di classe /< ■ = 4 — 1 = 3. Si noti, infine, che il punto V non 

 appartiene a y. 



b) Supponiamo, invece, che i punti 1 e 2 siano infinitamente vicini 

 tra loro, onde y x è dotata di un punto doppio Vj che è punto-base per (h\). 

 In questo caso, proiettando y x da un piano w che incontri genericamente un 

 (solo) piano di una conica di (k x ), si ottiene una superficie y con un fascio (k) 

 di coniche, i cui piani inviluppano un cono razionale e di classe /< = 4 — 1 = 3. 

 Inoltre esiste una retta doppia di y, la quale, contata due volte, è conica 

 di (k). Si noti, infine, che il vertice V, del detto cono, è triplo per y e 

 punto-base per (k). 



8. Supponiamo ora/),-=l, cioè che l'inviluppo (n) sia ellittico. Per 

 (T = 0, dalla (1) segue J = 6 e, quindi (n.° 1), p c = 4. L'esistenza della 

 superficie y si può dimostrare con ragionamenti analoghi a quelli fatti nel 

 n.° 8 della mia Nota citata per la prima. Comunque, eccone dimostrata 

 l'esistenza per altra via ( 1 ). 



(') Ancora: l'esistenza di y è contemplata nel seguente teorema generale (che dimo- 

 strerò in un mio prossimo lavoro): Per s= t ,n — 2 fi e (k) dotato di punto-base, la 

 superfìcie y esiste. 



