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a) Stabilendo un'omografia tra i piani di uno spazio ordinano 2 e 

 le quadriche, di un altro spazio ordinario 2', passanti per sei punti gene- 

 rici di un cono cubico ellittico /, si viene a stabilire fra 2 e 2' una 

 trasformazione doppia, in virtù della quale a y corrisponde in 2 una super- 

 ficie y d'ordine n = 6, con un fascio ellittico (k) di coniche i cui piani 

 inviluppano un cono (ellittico) di classe n = 3 Il vertice di questo 

 cono è, evidentemente, il punto V di 2 corrispondente a V, punto V che, 

 dunque, è triplo per y e punto-base per (k). 



b) Fra i piani di un inviluppo (n) ellittico di classe fi = 3, e le- 

 quadriche di un fascio (x), esista una corrispondenza (2, 1), tale che esi- 

 stano due piani di (n), ad ognuno dei quali corrisponda in (x) una quadrica 

 (degenere) della quale quel piano sia parte. Il luogo della conica comune 

 a due elementi omologhi è, a prescindere dai detti due piani, la superficie y 

 richiesta. 



Secondo che il vertice V del cono inviluppato da (n) appartiene ovvero 

 no alla base di (x), V sarà triplo per y e punto-base per (#), ovvero non 

 appartiene a y. 



9. Per ó' = 1 è S = 4, e, quindi, p c = 3. 



Da quanto è noto ( 2 ) circa le superficie a sezioni piane di genere tre r 

 la superficie y esiste. 



a) Sia yì la superficie, dell' S 6 , rappresentabile sul cono cubico ellit- 

 tico mediante il sistema lineare delle curve segate dalle quadriche che toc- 

 cano il cono in un punto fisso ( 3 ). Proiettando ^ da uno generico dei piani 

 incidenti essa in due punti, e incidenti il piano di una conica del fascia 

 (ellittico) di coniche esistente in y, stessa, si ottiene la superficie y richiesta. 

 La proiezione di detta conica sarà la retta doppia di y che, contata due 

 volte, è una conica del fascio di coniche (k) esistente in y. I piani di queste 

 coniche inviluppano, evidentemente, un cono ellittico di classe fi = 6 — 3 = 3, 

 il cui vertice V è triplo per y e punto-base per (k). 



b) La superficie y è una di quelle studiate dal prof. Scorza ( 4 ). In 

 questo caso il vertice V, del cono inviluppato dai piani di (n), non appar- 

 tiene a y. 



(') Infatti la quartica base del fascio di quadriche passanti pei sopradetti sei punti, 

 per il vertice V di y', e per un punto generico (di 2'), seca ulteriormente y' in 

 4 • 3 — 6 — 3 = 3 punti, onde nel detto fascio esistono tre (sole) quadriche che conten- 

 gano generatrici di y 1 ' . 



(*) Castelnuovo, Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere 3 

 [Atti della K. Accademia delle scienze di Torino, voi. XXV (1890)]; e Scorza, Le super- 

 ficie a curve sezioni di genere 3 [Annali di matematica, ser. 3 a , tomo XVI]. 



( 3 ) Castelnuovo, loc. cit , n.° 9. 



(*) Scorza, loc. cit., n '} 26 e 50. 



