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§ 2. 



10. Sia (x = 2. 



Giacché è > e d" ^ 0, dalla (1) si deduce s << 3. 



11. Sia s=l. 



Cominciamo dall'osservare che il vertice V del cono quadrico, invilup- 

 pato dai piani di (n), o è doppio per y e non punto-base per (k), ovvero 

 è quadruplo per y e punto-base per (k). 



Dalla (1), inoltre, si deduce (n.° 2) J'<3. 



Per ó'= la (1) dà <f = 8 e, quindi, (n.° 1) jo c = 3. 



a) La superficie y è dunque ( l ) proiezione della superficie y x , dell' S*, 



rappresentata nel piano dal sistema lineare 1*5»,'», », 4 , , u|, coi punti 



1,2,3, 4,..., 11 in posizione generica tra loro. 



I piani delle coniche del fascio {k x ), rappresentato da \k\\ } costituiscono 

 un S -cono quadrico, e il vertice Vi di questo è doppio per y, . Proiettando 

 dunque yi da un punto generico dell' S 4 ambiente, si ottiene una superficie y 

 con un fascio di coniche (k) i cui piani inviluppano un cono quadrico, e il 

 vertice V di questo è doppio per y e non punto-ba&e per (k). 



b) Se, in particolare, i punti 2, 3, 4, 5, 6 sono collineari, siccome 

 la loro retta rappresenta un punto V, quadruplo per y\ e punto-base per (ki), 

 così la proiezione di y, sarà una superficie y con un fascio di coniche {k) 

 i cui piani inviluppano un cono quadrico, e il vertice V di questo è qua- 

 druplo per y e punto-base per (k). 



12. Per <T == 1 è à = 6 e quindi p c = 2. 



La superficie y è dunque proiezione della superfìcie y x , dell' S 5 , rappre- 

 sentata nel piano dal sistema lineare 2 , 3 , 4 , 5,6, il • 



a) Se i punti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sono in posizione generica tra loro, 

 siccome i piani delle coniche del fascio (hi), rappresentato da \X\\, gene- 

 rano una varietà cubica, proiettando y x da una generica retta incidente uno 

 (solo) 7r, di questi piani, si ottiene una superficie y con un fascio di coniche 

 (k) i cui piani inviluppano un cono quadrico, e il vertice V di questo è 

 doppio per y e non punto- base per (k). 



b) Se, invece, i punti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 appartengono ad una stessa 

 conica, allora, proiettando /, come ora si detto, V risulta quadruplo per y 

 e punto-base per (k). 



In ambedue i casi la traccia, nello spazio di y, dello spazio ordinario 

 individuato da n x e dalla retta centro di proiezione, è la retta doppia di y, 

 tale che, contata due volte, sia conica di (k). 



13. Per c?' = 2 è à = 4 e, quindi, p c = 1. 



La superficie y è dunque proiezione della superficie y x , dell' S 6 , rap- 

 presentata nel piano dal sistema lineare |Aj j2j3 |, qualora si scelga, come piano 

 (') Castelnuovo, loc. cit. 



