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Essendo K{rt) una funzione simmetrica, l'equazione precedente ammet- 

 terà (') almeno una soluzione %i(t); moltiplicandone allora ambo i membri 

 per H(sr)rfr. ed integrando, si otterrà (*) 



f 6 1 f 6 



E(sr) X i{r) dr-\- —=- ) H,(sr) %,(/•) — g>(s) , 



il che prova quanto si voleva. 



Potremo allora scegliere 7^ (ved. § 3) funzioni jf,(s) , x ? (s) , ... , z Pl (s) 

 tali che. per esse, la (8) rappresenti le p x autofunzioni linearmente indipen- 

 denti cercate. 



In modo affatto analogo si dimostrerebbe che tutte le auto funzioni di 

 K(st), corrispondenti all'autovalore — —j= , sono rappresentate dall'espres- 



vr 



sione 



(9) f b B(st) X (t) dt - 4- Ph^/ì x(t) dt , 



•a y y ' a 



e che le p 2 autofunzioni linearmente indipendenti, relative all'autovalore 

 — — — , si potranno avere mediante la scelta opportuna di p 2 funzioni x(s). 



Yy 



Ripetendo il ragionamento precedente per le funzioni ¥ l2) (st), ¥ (3) (st) , ... 

 si arriverà a trovare le autofunzioni linearmente indipendenti di ~K(st) rela- 

 tive agli autovalori A 2 . A 3 , ... 



Osservazione — Se per funzione %{t) assumiamo la E(t , /), dove r' 

 indica un valore qualunque di r, entro il suo campo di variabilità, le (8) 

 e (9) diventano rispettivamente 



(8') H(sr') + -j=rE 1 (sr / ) 



VY 



(9') H(sr') ^H,(sr r ): 



VY 



e può darsi che sia possibile di trovare p t e p 2 valori r ( di r tali che, per 

 essi, le (8') e (9') rappresentino rispettivamente le p x e p t autofunzioni 

 linearmente indipendenti cercate. Perchè ciò accada, è sufficiente che, per 



(M Schmidt, loc. cit., § 10. La soluzione sarà unica se K(sf) non ammette — —p? 

 come autovalore; in caso contrario, ve ne saranno infinite, essendo le auWunzioni di 

 K(st), relative a — — Lr , ortogonali alla f(r) . 



Vi 



(") E facile il vedere che I Hfsr) tp(r) dr = tp(r) ; basta ragionare come al § 2. 



