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di rispondere in modo tanto più completo, in quanto le recenti ricerche di 

 Eisenhart ( x ) permettono di invertire in certo modo i miei primi risultati. 



Si osservi, intanto, che le superfìcie S d'appoggio nelle nostre coppie 

 (S,S ) di superfìcie applicabili sono già perfettamente caratterizzate come 

 luoghi dei centri delle sfere dell' inviluppo nella corrispondente trasforma- 

 zione D m , ovvero nella E m . Ma per questo secondo caso si determineranno 

 ulteriormente dalle loro relazioni colle deformate del paraboloide rotondo 

 (ved. n. 8). 



Quanto poi alle superfìcie rotolanti S , le potremo caratterizzare da 

 una proprietà geometrica del sistema (u , v) couiugato, comune alla S ed 

 alla sua deformata S , sistema che è sempre reale e corrisponde alle linee 

 di curvatura delle due falde dell' inviluppo. La proprietà in discorso è la 

 seguente : 



A) Nel caso delle superficie isoterme il sistema coniugato perma- 

 nente (u , v) della superbie rotolante S si proietta, dal punto satellite 0, 

 sopra una sfera di centro 0, in un sistema ortogonale. 



B) Nel caso delle superficie a rappresentazione isoterma delle linee 

 di curvatura, il sistema coniugato permanente (u , v) di S si proietta 

 ortogonalmente sul piano satellite n in un sistema ortogonale. 



È chiaro che, siccome la proiezione centrale sulla sfera è una proie- 

 zione ortogonale, le superfìcie S del caso B) sono da riguardarsi come un 

 caso limite dell'altro, A), quando il centro si allontani all'infinito, in una 

 determinata direzione. 



2. Comincieremo dal riscontrare che la proprietà A) si verifica nelle 

 superficie rotolanti S corrispondenti ad una trasformazione D m , e la B) in 

 quelle che corrispondono ad una E m . 



Indicando con 



il quadrato dell'elemento lineare della superficie 2 (prima falda dell'invi- 

 luppo), con r, , r 2 i raggi principali di curvatura di 2, e con R il raggio 

 della sfera inviluppante, l'elemento lineare ds comune alle due superficie 

 applicabili S , S è dato da 



Ora, nel caso delle superficie isoterme e di una trasformazione D m . il 

 raggio R rappresenta altresì la distanza del punto (u , v) variabile di S„ 

 dal punto satellite 0: e per ciò, indicando con da l'elemento lineare della 



(') Sulle superficie di rotolamento e le trasformazioni di Ribaucour (questi Ren- 

 diconti, ottobre 1915). 



ds 2 = Rdu 2 -j- Gdo 2 



