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proiezione centrale di S fatta da sulla sfera unitaria di centro 0, abbiamo 



dsl = R 2 d<J 2 -f-r/R 2 , 



e, paragonando colla precedente, risulta 



Questo ha effettivamente la forma ortogonale, e sussiste quindi la pro- 

 prietà A). 



Nell'altro caso, di una trasformazione E m , il raggio E rappresenta la 

 distanza del punto (u , v) di S n dal piano satellite n . Indicando questa 

 volta con do 2 il quadrato dell'elemento lineare della proiezione ortogonale 

 di S su ti , abbiamo 



dst = da 2 -f dR 2 , 



e, per ciò, 



da 2 = E ( l H-™) 2 + G ( 1 + \ J *>' > 



che ha nuovamente la forma ortogonale. Dunque, se la S appartiene ad 

 una trasformazione E m , ha luogo la proprietà B). 



3. Prima di procedere all' inversione di questi risultati, ritorniamo sul 

 primo caso di una superfìcie 2 isoterma per constatare un'ulteriore proprietà 

 che possiede la proiezione centrale del sistema coniugato permanente di S , 

 e che è del resto una conseguenza della A). 



Riferendoci alle forinole della Nota 1), abbiamo qui 



E = G = ^ e , R = — — , 



w 



indi 



Dalle mie ricerche sulle superficie isoterme (') si sa che in quest'elemento 

 lineare sferico le linee (u , v) sono le immagini delle linee di curvatura di 

 una nuova superìcie isoterma 2, precisamente di quella che in (M 2 ) è indi- 

 cata come proveniente da 2 per una trasformazione T m , associata alla D m 

 di Darboux. Nel caso A) ha dunque luogo l'ulteriore proprietà che: Le 

 proiezioni centrali sulla sfera delle linee del sistema coniugato perma- 

 nente di ^ ino le immagini delle linee di curvatura di un'altra super- 

 ficie isole, tm T S. 



(') Ved. le duo Memorie nei tomi XI, XII, serie 3 a , dearli Annali di matematica 

 (1905). Qui saranno citate con (Mi), (M 8 ). 



