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Osserviamo ancora, perchè utili per il seguito, le forinole che, supposta 

 nota la 2, danno la S . Se chiamiamo X 3 , T 3 , Z 3 i coseni di direzione 

 della normale a 2, e x ,y ,s le coordinate del punto (u , v) di S , 

 abbiamo 



*C A 3 , // 1 3 , «o ^3 • 



te w w 



D'altra parte si è dimostrato, in (M 2 ) § 3, che alla D m di 2 corrisponde 

 una D_ m per 2, e la corrispondente w è data [ibid., formole (16)] da 



w = — . Per ciò le precedenti si scrivono anche 



n \ _ _ Y3 Z 3 



111 iC — — . i/o — — » ^0 — — • 



w w w 



4. Per dimostrare che le proprietà del sistema eoniugato permanente, 

 enunciate in A), B), caratterizzano le superficie rotolanti S nelle coppie di 

 superficie applicabili dedotte da una trasformazione D m , ovvero da E m , noi 

 cominciamo dallo stabilire le due proposizioni seguenti : 



A') Se una superficie S possiede un sistema coniugato permanente 

 (u , v), che, proiettato da un punto sopra una sfera di centro 0, dà 

 un sistema ortogonale, ed è S la corrispondente deformata, allora, quando 

 S si fa rotolare sopra S, il punto descrive una superficie 2 le cui 

 linee (u , v) sono quelle di curvatura. 



P/) Se una superficie S possiede un sistema coniugato permanente 

 (u , v), che sopra un piano n si proietta in un sistema ortogonale, allora, 

 rotolando S sulla deformata S , il piano n inviluppa una superficie 2 

 le cui linee (u , v) sono quelle di curvatura. 



A questo oggetto ricorriamo ad alcune formole generali della teoria 

 degli inviluppi di sfere, che qui per brevità mi limito a citare riserbando 

 ad altra occasione i relativi sviluppi. 



Consideriamo un inviluppo di oo* sfere, la cui superficie S luogo dei 

 centri, riferita ad un sistema curvilineo qualunque (u , v), abbia le due 

 forme quadratiche fondamentali 



(2) ds* = Edu 2 -\-2Fdudo + Gdv 2 



(3) Ddu 2 -j- 2 D'du dv + D"dv 2 , 



e sia R = U(u , v) il raggio della sfera inviluppante. L'inviluppo si com- 

 pone di due falde, e noi vogliamo scrivere l'equazione differenziale delle 

 linee di curvatura sull'una sull'altra falda. Denotiamo con JxU il para- 

 metro differenziale primo di R, calcolato rispetto alla forma (2), e con 



