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R n ,R 12 ,R 22 le derivate seconde covarianti di R, e poniamo 



(* u = B,i+«Df/Ì -i,R , t 12 = R 1? + * D'f l — z/,R , 



(4) , 



dove s = ±l, il segno distinguendo le due falde dell'inviluppo. Se po- 

 niamo inoltre 



« E - B -(f) ! ■ . °.=«-(fr 



l'equazione differenziale delle linee di curvatura dell'inviluppo si scrive 

 E du -j- F do F c/w -f- G dv 

 t n du-\-r ì2 dv Viìdu -j- c^dv. 



(6) 



= . 



Ciò premesso, e riferendoci dapprima al caso A'), supponiamo che la 

 superfìcie S ammetta una deformata S per la quale R sia la distanza del 

 punto (u , v) di S dall'origine 0. Per le forinole relative alle derivate se- 

 conde covarianti della funzione £ = |R 2 , calcolate al § 69, voi. I, delle 

 Lesioni, avremo 



(7) RP. n = E + DoW , RR 12 = F -f D W . RR, 2 = G + DJ' W. 



dove D , Dó, Dó' sono i coefficienti della seconda forma fondamentale di S , 

 e W la distanza dell'origine dal piano tangente in (u , v). Se con 



ds* = edu 2 -f- 2 fdu dv -j- (jdo 1 



indichiamo il quadrato dell'elemento lineare sferico per la proiezione cen- 

 trale fatta dal punto sulla sfera unitaria, avremo, come al n. 2, 



ds l — c/R 2 

 dG = R 2 • 



e, per ciò, 



(8) E = R*e , F = BV , G = li 2 y . 



Ora, supposto che per la superfìcie S abbia luogo la proprietà descritta 

 in A'), prendiamo a sistema coordinato quello coniugato permanente, ed 

 avremo, per le nostre ipotesi, 



D' = , D; = , f=0; 

 indi, dalle (4), (7) e (8), 



F = U , / 12 = 0. 

 Così l'equazione differenziale (6) diventa 



du dv = , 



