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le cui linee integrali u = cost , v = cost sono dunque le linee di curvatura 

 per ambedue lé falde dell' inviluppo, c. d. d. 



Un risultato del tutto analogo si avrà nel caso B'), supponendo che 

 il sistema coniugato permanente (u , v) di S , proiettato sul piano tc , dia 

 un sistema ortogonale. Allora R rappresenta la distanza del punto (u , v) 

 di S dal piano u , e si ha quindi 



Rn = D Z , R 12 = DÓZ , R22 — Dó' Z • 



essendo Z il seno dell'angolo d'inclinazione della normale a S sul piano n. 

 Qui il quadrato dell'elemento lineare per la proiezione piana di S su n è 



da 1 = d$* — dR 2 . 



E prendendo per sistema coordinato (u , v) quello coniugato permanente, ne 

 dedurremo ancora 



F o = , t 12 = 0, 



ciò che porta alla medesima conclusione come nel primo caso. Le proposi- 

 zioni A'), B') sono, così, stabilite. 



5. Ai risultati ottenuti associando ora i teoremi inversi dovuti ad 

 Eisenhart, facilmente proviamo che le proprietà A), B) sono caratteristiche 

 per le superficie S rotolanti nelle coppie (S , S ) di superficie applicabili 

 dedotte da una trasformazione D m . ovvero da una E m . E invero, se consi- 

 deriamo il primo caso e supponiamo che il sistema coniugato (u , v) di S 

 si proietti da sulla sfera in un sistema ortogonale, e sia inoltre sistema 

 coniugato comune ad S 9 e ad una sua deformata S, considereremo le sfere 

 che hanno i centri nei punti di S e passano per 0. Il teorema A f ) prova 

 che, quando S si deforma in S , seco trasportando le sfere, sulle due falde 

 2 , 2 X dell' inviluppo di sfere le linee di curvatura corrispondono al detto 

 sistema coniugato comune, e per ciò 2 , S t sono trasformate di Ribaucour 

 l' ima dell'altra. Ma poiché, quando S rotola su S , il punto descrive 

 la falda 2, dal citato teorema di Eisenhart segue che: le due superficie 

 2,2 X sono isoterme, e la trasformazione di Ribaucour è una D m . 



Similmente, nel secondo caso, considereremo le sfere coi centri sopra S 

 e tangenti al piano n. Deformando S„ in S, sulle due falde ^,-1 dell'in- 

 viluppo di sfere le linee (u , v) saranno, pel teorema B'), quelle di curva- 

 tura. Dopo ciò, dal relativo teorema inverso di Eisenhart segue ora: le due 

 superficie 2 , 2 Y hanno rappresentazione isoterma delle loro linee di cur- 

 vatura, e la trasformazione di Ribaucour è qui una E m . 



Così abbiamo riconosciuto, in effetto, che le proprietà A), B) sono carat- 

 teristiche per le nostre superficie rotolanti, possiamo concludere : 



Teorema I). Se una superficie S possiede un sistema coniugato 

 permanente che da un punto fisso si proietta, sopra una sfera col 



