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centro in 0, in un sistema ortogonale, facendo rotolare S sulla relativa 

 deformata S, il punto descrive una superficie isoterma. 



Teorema II). Se una superficie S possiede un sistema coniugato 

 permanente che si proietta sopra un piano n in un sistema ortogonale, 

 quando S rotola sulla deformata S , il piano ti inviluppa una superficie 

 a rappresentazione isoterma delle linee di curvatura. 



Che inversamente ogni superficie isoterma possa generarsi (infinite volte) 

 nel primo modo, ed ogni superfìcie a rappresentazione isoterma delle linee 

 di curvatura nel secondo, è già stato dimostrato nelle Note 1) e 2). 



6. Le proprietà caratteristiche che offrono le nostre superficie rotolanti S 

 in riguardo alle proiezioni ortogonali del loro sistema coniugato permanente 

 sulla sfera, o sul piano, rendono opportune alcune osservazioni sulle proie- 

 zioni in generale, che, per quanto molto semplici, non mi consta 3Ìano state 

 completamente rilevate altrove. 



Se si trasforma una qualunque superficie S , mediante un'omologia di 

 centro 0, in un'altra S', è ovvio che sopra S , S' si corrispondono le linee 

 asintotiche (o, ciò che torna lo stesso, i sistemi coniugati), e le coppie P , P' 

 di punti corrispondenti sono allineati con 0. Ma diciamo che inversamente: 

 Se due superficie S , S', non sviluppabili, si corrispondono punto a punto 

 in guisa che le asintotiche si cangino in asintotiche, e le coppie di punti 

 corrispondenti siano allineate con un punto fisso 0, si passa da S a S' 

 con un'omologia di centro 0. 



In modo più breve, si può enunciare la stessa proprietà così: Le uniche 

 proiezioni centrali di una superficie non sviluppabile sopra un'altra, che 

 conservano le asintotiche (i sistemi coniugati), sono le omologie col centro 

 nel centro di proiezione. 



Analiticamente la proprietà si dimostra (') ricordando che le coordinate 



(') Il prof. Bertini ha dato di questa proprietà la seguente dimostrazione sintetica 

 Siano L , A le due asintotiche partenti da un punto generico P di una superficie, 

 ed 1/ , A' le loro corrispondenti uscenti dal punto corrispondente P' dell'altra superficie. 

 Le asintotiche \ji,A lt infinitamente e rispettivamente vicine a L,A, seghino queste in 

 Q,R, e si seghino fra loro in M . Si osservi, dapprima, che i quattro punti P,Q,M,E 

 (e analogamente i quattro corrispondenti P' , Q' . M' , R') formano un proprio tetraedro, 

 non potendo manifestamente accadere, per l' ipotesi, che essi giacciano in un piano. I due 

 tetraedri corrispondenti PQRM , P'Q'R'M' sono, pure per l'ipotesi, omologici e, conside- 

 rando (ad es.) i due punti S,N in cui l'asintotica A a , infinitamente vicina a A u incontra 

 L , Li , sono parimenti omologici i due tetraedri corrispondenti RMNS , R'M'N'S'. Il piano 

 d'omologia di quelli coincide col piano d'omologia di questi, perchè i due primi hanno 

 comuni tre punti, cioè il punto ES.R'S' (queste due rette, ancora per l'ipotesi, trovan- 

 dosi nei piani tangenti QPR , Q'P'R'). il punto MN.M'N' per analoga ragione, e infine 

 il punto RM.R'M': i quali tre punti non sono in linea retta, per l'osservazione fatta 

 dianzi. Continuando, si hanno infinite coppie di tetraedri omologici collo stesso piano 

 d'omologia: e quindi le due superficie hanno i piani tangenti in punti corrispondenti 

 segantisi sopra un piano, e ciò evidentemente basta per concludere il teorema. 



