x ,y ,z di un punto mobile sulla superfìcie, espresse in funzione dei para- 

 metri u,v delle asintotiche, godono della proprietà caratteristica di sod- 

 disfare ad un sistema differenziale della forma (Lesioni, voi. I, § 66) 



— 7 — a — a — 



(«) 



I 7> 2 7>0 7,0 

 f r = « — -4- A — , 



\ 7>y 2 7)w 1 ' ~òv 



dove a,b ,a, (ì sono funzioni di w.y. Il sistema (a) è completamente 

 integrabile, e la sua soluzione generale ha la forma 



tì = A# + By + Gz + D, 



con A , B , C , D costanti. Ora, se il centro di proiezione è a distanza finita, 

 poniamovi l'origine, e denotando con x' , y , s' le coordinate del punto di S' 

 corrispondente a (x , y , z) di S , potremo scrivere 



, x , __ y_ , z 



E poiché a;' , y . z' debbono essere soluzioni di un sistema come (a), facil- 

 mente si vede che T stessa deve essere una soluzione del sistema (a), onde 

 risultano le formole 



, x r y 



X = kx + By + C<? + D ' y = A# + By + + D ' 



= ! 



kx -f- By -|- Gz -f D ' 



che sono appunto quelle di un'omologia col centro nell'origine. 



Se il centro di proiezione è all' infinito, p. es., nella direzione dell'asse z, 

 le formole si scriveranno 



x' = x , y = y , / = z -f- T ; 



e nuovamente T dovrà essere una soluzione delle (a), ciò che porta al me- 

 desimo risultato. 



Applichiamo queste osservazioni generali al caso che di una superficie S 

 si faccia la proiezione centrale sopra una sfera. Siccome sulla sfera i sistemi 

 coniugati coincidono cogli ortogonali, avverrà che i sistemi coniugati di S 

 si proietteranno in ortogonali sulla sfera nel solo caso che la S sia una 

 trasformata omologica della sfera col centro d'omologia nel centro della 

 sfera, cioè quando la S sia una quadrica rotonda di cui il punto sia fuoco 

 principale. 



La proiezione centrale di una quadrica rotonda fatta da un fuoco 

 principale F sopra una sfera, che ha il centro in F, cangia i sistemi 

 coniugati della quadrica in sistemi ortogonali sulla sfera. 



