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\ n ogni altro caso di proiezione centrale sulla sfera vi ha un solo 

 sistema coniugato di S , sempre reale, che si proietta sulla sfera in un 

 sistema ortogonale. Questo è, sulla sfera, il sistema delle bisettrici delle 

 proiezioni delle asintotiche ; esso corrisponde alle linee di curvatura della 

 polare di S rispetto al centro di proiezione ('). 



Similmente, se si proietta ortogonalmente una superficie S sopra un 

 piano 7r, vi è un solo sistema coniugato di S„ cui corrisponde sul piano 

 un sistema ortogonale: questo è il sistema delle bisettrici delle proiezioni 

 delle asintotiche. L'unico caso di eccezione è quando S è un paraboloide 

 rotondo, ed il piano di proiezione è normale all'asse; allora ogni sistema 

 coniugato del paraboloide si proietta in un sistema ortogonale. 



Per queste proprietà delle quadriche rotonde i teoremi 1) e II) del 

 n. 5 danno in particolare i seguenti risultati: 1°) se una quadrica rotonda 

 rotola sopra una qualunque sua deformata, un fuoco principale della qua- 

 drica descrive una superficie isoterma; 2°) se un paraboloide rotondo rotola 

 su qualunque sua deformata, un piano normale all'asse inviluppa una super- 

 ficie a rappresentazione isoterma delle linee di curvatura. Queste proprietà 

 sono ben note e maggiormente precisate nei teoremi di Guichard, perchè 

 nel primo caso la superfìcie generata dal fuoco è a curvatura media costante e. 

 nel secondo l'inviluppo del piano è parallelo ad una superfìcie d'area minima. 



7. Ritorniamo a considerare le coppie (S , S ) di superfìcie applicabili 

 dedotte da una trasformazione D„, di una superficie isoterma 2. Si è visto, 

 al n. 3, che la proiezione centrale, sulla sfera, del sistema coniugato perma- 

 nente di S dà altresì l' immagine sferica delle linee di curvatura di un'altra 

 superficie isoterma 2. dedotta da 2 con la T m associata alla D m . 



Ora consideriamo quelle superficie rotolanti che indicheremo con S , le 



quali dipendono da 2 come S da 2, cioè tali che abbiano per proiezione 

 centrale, su la sfera, del loro sistema coniugato permanente (u , v) l'imagine 

 delle linee di curvatura di 2. 



Per le formolo (1), le coordinate ^ J Jo un punto di S saranno date da 



-Zi ^3 - ^ 3 - ^3 



w w w 



Su queste noi passiamo a constatare, ricorrendo alle formole della Nota 1), 

 che il sistema (a , v) è, in effetto, coniugato permanente sopra S , ciò che 

 ci farà riconoscere altre circostanze degne di nota. Dalle (IO), derivando, 

 abbiamo 



\ -^r 2 = t^— i (h-X, — ÀX 3 ) 



(11) 



\ 1)0 r x w 



(') Ved. Darboux, Lepons, 2 ème part., pag. 288. 

 Rendiconti. 1915, Voi. XXIV. 2° Sem. 



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