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e d'altra parte, indicando con x , y , z le coordinate di un punto mobile 

 sulla superficie S dei centri delle sfere, abbiamo 



Confrontando colle precedenti, si hanno le altre 



1)X 1 ìx ~òx 1 ~òx 



r 2 w — (f ~òu ' 7>y r x w — tp ~òv 



le quali dimostrano che S . S si corrispondono per parallelismo di normali 

 e delle tangenti alle linee coordinate (u , v). Il sistema (u , v) è coniugato 

 permanente sopra S , e, per ciò. anche su S . 



Indichiamo con S la relativa deformata di S; con S quella della S„; 

 e siano (x , y , z t ) (x , y , 1) le coordinate di punti corrispondenti sopra 

 S , S. Possiamo allora applicare il teorema generale di Peterson sui sistemi 

 coniugati permanenti (ved. Lesioni, voi. II, pag. 43), e ne dedurremo che, 

 nota p. es. S , si troverà la S con quadrature dalle formole 



~òu r 2 ic — (p ~ùu 7>y r x w — y> ~òo 



Possiamo riepilogare questi risultati come segue : 



In corrispondenza ad ogni trasformazione D m di superficie isoterme 

 si presentano due delle nostre coppie di superficie applicabili (S , S ) 

 (S , S ), tali che la rotolante di ciascuna delle due coppie ha a comune 

 l'immagine sferica del sistema coniugato permanente colla superficie di 

 appoggio nell'altra coppia. Le due superficie isoterme 2 , 2 generate dal 

 punto satellite nel rotolamento di S sopra S , e di S sopra S, sono tras- 

 formate per la T m associata alla D„, e l'immagine sferica delle loro 

 linee di curvatura coincide colla proiezione centrale, sulla sfera, del si- 

 stema coniugato permanente per la superficie rotolante relativa all'altra 

 superficie. 



8. Passando alle coppie (S , S ) di superficie applicabili dedotte da una 

 E m , è da osservare, in primo luogo, che la superficie S d'appoggio è il luogo 

 dei centri delle sfere dell' inviluppo colle due falde 2 , 2 X a rappresentazione 

 isoterma delle linee di curvatura. Ora, per quanto è dimostrato nella Nota 2), 

 si può con una trasformazione di Combescure cangiare quest'inviluppo di 

 sfere in un altro (di Guichard) le cui due falde sono superficie 2' , 2[ ad 

 area minima, e la superficie dei centri, che diremo P, è una deformata del 

 paraboloide rotondo P . Le superficie minime 2' , 2[ hanno la stessa im- 

 magine delle linee di curvatura delle 2 , 2\ ed il corrispondente sistema 



