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(u , v) è, tanto sulla coppia di superficie applicabili (S , S ), come sulla 

 (P , P ), il sistema coniugato permanente. 



Viceversa, qualunque trasformazione di Combescure, applicata ad un 

 inviluppo di sfere di Gruichard colle due falde 2 . 2' ad area minima, e 

 colla superficie P dei centri deformata del paraboloide rotondo, dà luogo ad 

 un inviluppo di sfere le cui falde (2,2') sono in trasformazione E m . 



Ora si osservi, di più, che le normali in punti corrispondenti di S , P 

 sono parallele, come parallele alle rispettive corde di contatto, e per ciò 

 la S ha a comune con P l' immagine sferica del sistema coniugato perma- 

 nente. Concludiamo quindi: 



Per avere tutte le superficie S d'appoggio nelle nostre coppie (S,S„) 

 di superficie applicabili, si consideri una qualunque deformata P del pa- 

 raboloide rotondo P , e, presa l'immagine sferica (u , v) del suo sistema 

 coniugato permanente, si consideri una qualunque superficie S che abbia 

 (u , v) per immagine sferica di un sistema coniugato. 



Ed ora torniamo ad applicare alle due coppie (S , S ) (P , P ) il teo- 

 rema di Peterson dal quale risulta che anche S , P si corrispondono per 

 parallelismo di normali, e per sistema coniugato permanente (u , v). Ma si 

 è visto che la S è caratterizzata dalla proprietà che la proiezione ortogo- 

 nale del sistema (u , v) sul piano ti satellite è un sistema ortogonale, ed 

 abbiamo quindi il risultato finale: 



Per ottenere tutte le superficie S di cui un sistema coniugato per- 

 manente si proietta, sopra un piano fisso, in un sistema ortogonale, si 

 consideri sul paraboloide rotondo Pp un sistema coniugato permanente 

 (arbitrario) (u , v) e si prenda una qualunque superficie S che abbia a 

 comune con P l' immagine sferica di questo sistema coniugato. 



Si osservi che, a causa della proprietà del paraboloide rotondo di cui 

 al n. 6, se si fa la stessa costruzione supponendo soltanto che (u , v) sia 

 coniugato (non permanente) su P , la proiezione del sistema coniugato 

 (u,v) della S su n è ancora ortogonale, ma il sistema (u , v) non sarà 

 più coniugato permanente per S . 



Le nostre ricerche precedenti ci assicurano che tutte le superficie roto- 

 lanti S„ nelle coppie (S , S ) di superficie applicabili dedotte da una E m 

 si ottengono, nel modo descritto, dai sistemi coniugati permanenti del para- 

 boloide di rotazione. 



