— 389 — 



Infine, se il cono r si riduce ad un piano da contar 3 volte, si ha 

 una F 6 con conica tripla e due punti tripli : 



xlg> 3 {x , %\) + x\Q<p t {x Q , Xi) + ^QV'i(f'o j Xi) 4- = . 



Queste tre superficie (che dànno luogo tutte a molti casi speciali, di- 

 pendenti dal coincidere dei punti A , B e dallo spezzarsi delle linee mul- 

 tiple) son proiezioni della F 6 di S 4 intersezione di una V| con una V* 

 cono cubico ellittico di 2 a specie (luogo di piani), F 8 rappresentabile sul- 

 l'ordinario cono cubico ellittico col sistema di C 6 segato da tutte le qua- 

 driche passanti per una conica. 



2°) Le coniche stanno a coppie nei piani per una retta r. Allora F 

 può esser proiezione della stessa F 6 di S 4 sopra descritta (da un punto del 

 cono Vf), nel qual caso r è retta doppia tacnodale a piano tangente fisso <r, 

 contenente due punti quadrupli A , B (comuni a tutte le coniche), ed esiste 

 poi una G* doppia di 1* specie bitangente a <r in A,B; tale C 4 può anche 

 spezzarsi, ad es. in due coniche doppie passanti per i punti quadrupli. 



Se invece F è normale in S 3 , la sua linea doppia comprende, oltre r, 

 una retta doppia tacnodale s, incidente ad r, con rs come piano tangente 

 fisso, e una (P sghemba avente s come corda e tangente al piano rs: 



(x a -f- x\Y <p 2 (x , Xi) 4- 

 4- x„{x a -f- ai) (:?„«' + x 3 §') <pi(x a ,Xi)-\- x (x a' + ,v 3 ^'Y ipi(x ,a?i)=0 



(con a , a', /?' forme lineari); oppure una retta doppia oscnodale s, incidente 

 ad r, con rs come piano tangente fisso, ed una conica incidente ad s (che 

 può anche spezzarsi in due rette uscenti da un punto di s): l'equazione si 

 ha dalla precedente (nel caso più generale) ponendo ft' = x 3 ; oppure una 

 retta tripla s incidente ad r e due rette doppie incidenti ad s : 



xl(x 3 + !lx o)' z (P2{x n , a-,) 4- 

 4~ Xs{x» 4" hx ) (x 3 a -\-x x 2 ) ip,(x ,Xi) + x (x 3 <x -\- x a.) 2 (pi{x , Xx) = 0. 



3°) Le coniche stanno una per una nei piani tangenti di un cono 

 ellittico di 3 a classe. F ha ora una C 6 doppia di genere 1 contenente un 

 punto triplo (per la C 6 e per F), ed ha un punto triplo ulteriore (vertice 

 del cono, punto base del fascio di coniche); essa si rappresenta sul cono 

 cubico ellittico col sistema lineare di C 6 , segato dalle quadriche passanti 

 per 6 punti generici del cono; la si costruisce trasformando il Gono col 

 sistema omaloidico di F 3 passanti per la C 3 sghemba determinata da quei 



