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6 punti e per la C 3 piana, sezione del cono, determinata dalle 3 interse- 

 zioni ulteriori della C 3 sghemba col cono stesso ('). 



La C 6 doppia può ridursi a una retta tripla con 3 rette doppie ad 

 essa incidenti ; allora, dei 6 punti base del sistema lineare rappresentativo, 

 ve ne sono 3 allineati, e la F 6 si ha trasformando il cono col sistema orna- 

 loidico di quadriche contenenti la retta di quei tre punti e gli altri tre. 



La C fi doppia può anche ridursi a tre coniche doppie passanti per due 

 punti (e non situate su una quadrica), uno dei quali può coincidere col 

 vertice del cono inviluppato dai piani delle coniche; l'equazione è: 



xl(x — hXìY (cc„ — frxif -f- 

 -f- £c (a5o — hx t ) (x — kxi) [_a — Xi{xc, — hx x ) {x — kx x )\ — bx ¥~] -f- 

 + 9>2 [#iP — ^2(^0 — hxi) (% — kxi) , — # P] — 

 — P [P + hx^xo — Aa?,)] [P + kx,(x — hx l j]=0. 



n = 3. — Escluse le superficie (di S 3 ed ivi normali) determinate 

 dallo Scorza ( 2 ), che contengono tutte un fascio ellittico di coniche (e perciò 

 rientrano fra le nostre), si hanno qui delle P 6 normali in S* . Esistono in 

 due tipi diversi di F° con un fascio ellittico di coniche e sezioni iperpiane 

 di genere 3: la prima è l'intersezione (completa) d'una V 3 cono cubico 

 ellittico di 2 a specie, e d'una V3 cono quadrico, aventi in comune una retta 

 generatrice e lungo questa lo stesso S 3 tangente; la seconda è l'intersezione 

 (residua) d'una V3 cono quartico ellittico di l a specie luogo di piani, e di 

 una VJ cono quadrico di l a specie contenente due piani generatori del primo 

 cono situati in uno stesso S 3 . 



1°) La più generale proiezione in S 3 della prima di queste F 6 ha 

 due punti tripli consecutivi A = B , situati su tutte le sue coniche, le quali 

 stanno a terne nei piani per AB. La linea doppia si compone d'una retta s 

 uscente da A, e d'una C a sghemba con due punti doppi su s; ma può anche 

 darsi che s sia una retta doppia oscnodale, nel qual caso esistono ancora 

 due coniche doppie passanti per A e B; infine la C 6 doppia può degenerare 

 in due rette triple (distinte no) uscenti da un punto di s (e che possono 

 coincidere con s , una entrambe). 



2°) Se il centro di proiezione sta sulla V|, si ha in S 3 una F 6 con 

 una retta doppia tacnodale r a piano tangente fisso (le cui coniche stanno 

 a eoppie nei piani per r), una retta doppia s incidente ad r, e una C 4 

 doppia di l a specie con un punto doppio su s e tangente ad r nel punto rs. 



(') Noether, Ueber die eindeutigen Raumtransformationen, insbesondere in ihrer 

 Anwendung auf die Albildung algebraischer Flàchen, Math. Ann., 3 (1871), pp. 547-580, 

 § 7; Cremona, Ueber die Abbildung algebraischer Flàchen, ibid., 4 (1871), pp. 213-230, 

 8. Beispiel, applicano questa trasformazione ad una F 3 generica passante per la C 3 piana. 



( a ) Scorza, Le superficie a curve sezioni di genere tre, Ann. di Matem., (3) 16 (1909), 

 pp. 255-326. 



