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Matematica. — Sugli integrali abeliani riducibili. Nota di 

 Gaetano Scorza, presentata dal Corrispondente G. Gastelnuovo (*). 



Questo lavoro si riattacca direttamente a quello che, col medesimo titolo, 

 apparve già in due Note successive nei fascicoli di questi Rendiconti del 

 marzo di quest'anno (') ; e mira a precisare sempre meglio le proprietà delle 

 varietà algebriche dotate di sistemi regolari di integrali riducibili ( 2 ). 



Così, ad es., abbiamo dimostrato che due sistemi regolari di integrali 

 riducibili di una varietà algebrica, associati rispetto a un suo sistema nullo 

 principale, sono complementari; e che, viceversa, dati sopra una varietà alge- 

 brica due sistemi regolari complementari, esistono infiniti sistemi nulli della 

 varietà, rispetto a cui essi sono associati ( 3 ). Ma fra questi sistemi nulli 

 ve ne son certo di quelli che siano principali? 



Così pure abbiamo dimostrato che condizione necessaria e sufficiente 

 perchè una varietà algebrica ammetta un sistema regolare di integrali ridu- 

 cibili della dimensione q — 1, è che essa ammetta un sistema nullo, almeno, 

 singolare di specie 2q . In tal modo, per ogni sistema nullo singolare di 

 specie 2q della varietà viene ad aversi un corrispondente sistema regolare 

 di dimensione q — 1 ; ma uno stesso sistema regolare di dimensione q — 1 

 può provenire da più sistemi nulli singolari di specie 2q della varietà, 

 linearmente indipendenti ( 4 ). E possibile precisare in qualche maniera il 

 numero di questi sistemi nulli, dati i valori di opportuni caratteri della 

 varietà e del sistema? 



Si sa, infine, che un sistema regolare appartenente a una data varietà 

 algebrica ha sempre su questa un sistema complementare, ed è facile vedere 

 che o questo sistema è unico o varia in una totalità infinita (discontinua) ( 5 ). 

 È possibile assegnare un criterio per stabilire a "priori quale sia, a volta 

 a volta, il caso che si presenta? 



Son queste le domande a cui rispondiamo nelle pagine seguenti. 



(*) Pervenuta all'Accademia il 29 ottobre 1915. 



(') Scorza, Sugli integrali abeliani riducibili. Note I e II [Rendic. della R. Acca- 

 demia dei Lincei, ser. 5 a , voi. XXI\ T , 1° sem. 1915, pp. 412-418 e pp. 645-654]. 



( a ) Siccome non vi è luogo ad equivoci, in questo lavoro diremo sempre « integrale », 

 senz'altro, al posto di « integrale semplice di l a specie ». 



( 3 ) Loc. cit. l >, Nota II, nn. 15 e 17. 



(*) Loc. cit. Nota II, n. 19. 



( s ) La cosa risulta dal seguito di questo lavoro, ma può dedursi agevolmente da 

 quanto è osservato dal sig. Severi alla fine del n. 4 della sua Nota: Sugli integrali 

 abeliani riducibili [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (5), voi. XXIII, 1° sem. 

 1914, pp. 581-587 e pp. 641-651]. 



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