— 394 — 



La nozione che compie in esse un ufficio essenziale è quella di indice 

 di singolarità, adoperata qui non solo per le varietà algebriche, ma anche 

 per i sistemi regolari di integrali riducibili ; e i risultati a cui ora perve- 

 niamo, congiunti a quelli raccolti in due altre Note recenti ( 6 ), provano, se 

 non erriamo, con la loro semplicità precisa e netta, che questa nozione è, 

 per la teoria degli integrali riducibili, di importanza fondamentale. 



Anche quella che ne consegue, di coefficiente di immersione di un 

 sistema regolare sopra una varietà algebrica a cui appartenga, che qui ci 

 limitiamo semplicemente a definire, sembra esser chiamata a rendere utili 

 servigi in questi studi. 



Ma su ciò ci riserbiamo di ritornare in una prossima occasione. 



1. Allorché una varietà algebrica contiene un sistema regolare di inte- 

 grali riducibili, questo può sempre pensarsi come il sistema di tutti gli 

 integrali di una conveniente varietà algebrica: cioè esiste una varietà alge- 

 brica i cui integrali hanno gli stessi periodi degli integrali del sistema. 

 Ma allora le nozioni di relazioni di Riemann (o sistemi nulli), di relazioni 

 di Riemann (o sistemi nulli) principali e di indice di singolarità ( 7 ) po- 

 tranno estendersi anche ai sistemi regolari di integrali riducibili, chiamando, 

 per es., indice di singolarità di un tal sistema quello di una varietà alge- 

 brica a cui spettino i suoi integrali. 



Questa estensione, del resto, apparisce ben naturale se si pensa che 

 codeste nozioni hanno un'origine puramente aritmetica e possono esser sta- 

 bilite in tutti quei casi in cui si abbia a che fare con una matrice, a p 

 righe e 2p colonne, i cui elementi soddisfacciano a una certa condizione 

 che poi, appunto, si esprime col dire che essi soddisfanno a una (almeno) 

 relazione principale di Riemann. 



Si tratta, in fondo, di nient'altro che di proprietà di una tal matrice 

 invarianti di fronte a un doppio ordine di trasformazioni ; cioè di proprietà 

 che restano inalterate tanto se alle p righe della matrice considerata si 

 sostituiscono p loro combinazioni lineari omogenee indipendenti qualunque, 

 quanto se agli elementi delle sue singole righe, concepiti come coordinate 

 omogenee di p punti di un S 2p -i , si applica una stessa trasformazione omo- 

 grafica, rappresentata da una sostituzione lineare omogenea a coefficienti 

 razionali e a modulo non nullo. 



Veramente, per quanto riguarda l'invarianza di fronte al secondo ordine 

 di operazioni, dato lo scopo a cui allora si mirava, noi supponevamo, nei 

 lavori già citati, che si trattasse di sostituzioni a coefficienti intieri e uni- 



( 6 ) Scorza, Le varietà algebriche con indice di singolarità massimo. Note I e II 

 [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (5), voi. XXIV, 2° seni. 1915, pp. 279-284 e 

 pp. 333-338]. 



(') Loc. cit. '>, Nota II, nn. 8, 9 e 10, e loc. cit. e >, introduz. della Nota I. 



