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modulari ; ma si vede subito che l' invarianza in discorso sussiste anche 

 nel senso più generale ora chiarito. 



Questa osservazione permette di affermare che per il calcolo dell' indice 

 di singolarità di una varietà algebrica di irregolarità superficiale p è inutile 

 partire dalla tabella dei periodi di un sistema di p suoi integrali indipen- 

 denti rispetto a un sistema primitivo di 2>p cicli lineari della sua rieman- 

 niana: basta partire dalla tabella relativa a un qualunque sistema di 2p 

 cicli lineari indipendenti. 



Di qua si raccoglie, in particolare, che : 



Se fra due varietà algebriche della stessa irregolarità superficiale 

 si può stabilire una corrispondenza (algebrica) (1 , n), esse hanno pure 

 lo stesso indice di singolarità. 



2. Per una varietà algebrica di irregolarità superficiale 1 (o per un inte- 

 grale ellittico) non v' è luogo a parlare di relazioni di Riemann e, quindi, 

 di indice di singolarità : volendo, può dirsi che di quelle ce n' è sempre 

 una, ed una sola, principale, rispondente alla forma bilineare alternata ele- 

 mentare Xiy 2 — #2^1. e che questo è, per conseguenza, sempre zero. È quanto 

 faremo nel seguito per non aver da distinguere il caso dell' integrale ellit- 

 tico dal caso di un sistema regolare con dimensione ]> . 



3. Ciò posto, consideriamo una varietà algebrica V p di irregolarità 

 superficiale p > 1, e supponiamo che A e A' siano due suoi sistemi regolari 

 complementari di integrali riducibili, delle dimensioni rispettive q — le 

 q'—l = p — q — \ (0<q<p): 



Introdotta per gli integrali di Y p la solita rappresentazione geometrica 

 mediante due S p _. , rei 7 , imaginari coniugati di specie p di un S SJ) _,, 

 2, per modo da poter parlare di sistemi nulli di Y p e degli assi A, e k[ 

 di A e A' ( 8 ), dimostriamo in primo luogo che: 



Esistono sempre infiniti sistemi nulli principali di Y p , rispetto a 

 cui Lek' sono associati: cioè, rispetto a cui gli assi k x e k\ di k e k! 

 sono l'uno lo spazio polare dell'altro. 



Siano Ui , Us , ... , u q q integrali indipendenti del sistema A , e u q+l , 

 u q +ì,...,u p q' integrali indipendenti del sistema A': gli integrali u l ,u 2 ,...,u p 

 saranno p integrali indipendenti di V p , e, se 



ù»i,è ù h,ì P 



è la tabella dei loro periodi, le coordinate di t in 2 sono semplicemente 

 i minori d'ordine p estratti da questa matrice. 



(*) Loc. cit. Nota. I, un. 1, 2 e 6. 



