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con i = y — 1 e le £ ,17 , rf reali, ciascuna delle torme 



l ■■•27 i-'-Sg' 



si mantiene diversa da zero e sempre dello stesso segno — diciamo posi- 

 tiva — qualunque siano, rispettivamente, i valori non tutti duIIì delle X 

 delle fi ( n ). 



Le equazioni (1) e (2), interpretate come equazioni in 2, rappresen- 

 tano due sistemi nulli aventi per assi, il primo, l'asse AJ di A', e il se- 

 condo, l'asse A! di A ; e così 1' uno come l'altro hanno poi come spazi auto- 

 coniugati re? ( 12 ). 



Segue che, qualunque siano gli interi non nulli q e <r, l'equazione 



]..-2q l---ìq' 



(3) Q ^_ C r ,s X r X s -f- G X C ' r ' s X« 9 -r X 2? + s = 



r,s r,s 



rappresenta un sistema nullo di Vp, rispetto a cui A e A' sono associati. 



Perchè esso sia principale, occorre e basta che, per valori adesso non 

 contemporaneamente tutti nulli delle A e delle fi , si abbia sempre 



Q X C r , s £ r r] 3 -\-<f T c' r .s §'r f]'s > > 



r,s r,s 



sempre 



\...2q l---2q> 



Q y C r ,s Jr»?» + * J_ Cr,s ? r Vs < 5 

 r,s r,s 



per il che occorre e basta, evidentemente, che q e a siano entrambi posi- 

 tivi O 0) o entrambi negativi « 0) ; dunque la nostra affermazione è 

 dimostrata ( 13 ). 



4. Per un'osservazione già fatta altrove ( 14 ), la costruzione del num. pre- 

 cedente, quando si supponga di sceglier comunque i sistemi nulli (1) e (2) 



Loc. cit. '), Nota II, n. 8. 



( la ) Si badi che, per es., il sistema nullo di A rappresentato dall'equazione (1) ha, 

 per definizione, due spazi autopolari nelle traccie di Ai su t e 7 , che sono degli S g _ t . 



C 3 ) Dalla dimostrazione risulta in più la circostanza che, entro il fascio dei sistemi 

 nulli, contenente i nostri infiniti sistemi nulli principali, considerato come una forma 

 di 1* specie (reale), questi ultimi son tutti contenuti in uno stesso segmento della forma. 

 È quanto avremmo anche trovato, nel modo più spontaneo, se avessimo utilizzato i teo- 

 remi contenuti nella Memoria citata in 9) per dimostrare geometricamente il teorema 

 del testo. Ma abbiamo creduto più comodo, per il lettore, dare una dimostrazione indi- 

 pendente da quei teoremi, tanto più che essa è assai rapida e semplice 



( w ) Loc. cit. !) , Nota II, Osservazione del n. 15. 



