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fra i sistemi nulli principali di A e A', rispettivamente, dà tutti i sistemi 

 nulli principali di Y p , rispetto a cui A e A' sono associati; se invece si sup- 

 pone che le equazioni (1) e (2) rappresentino, rispettivamente, un qualsiasi 

 sistema nullo non singolare di A o di A', l'equazione (3) (dove adesso q e <r 

 si riguardano come due numeri interi qualunque, diversi entrambi da zero), 

 al variare di q e g e al variare dei sistemi nulli (1) e (2) fra i sistemi nulli 

 non singolari di A e A', dà tutti i sistemi nulli (non singolari) di Y p , 

 rispetto a cui A e A' sono associati. 



Ma se k (a) e k ia,) sono, rispettivamente, gli indici di singolarità di A 

 e A', esistono ordinatamente, k (a) + 1 e k {a,) -j- 1 (e non più) sistemi nulli 

 non singolari di A e A', linearmente indipendenti: dunque fra i sistemi nulli 

 (non singolari) di V^, rispetto a cui A e A 1 sono associati, è possibile sce- 

 glierne k (a) -f- k (a ' ] -f- 2 (e non più) linearmente indipendenti. 



Segue che: 



I) Se A e A' sono due sistemi regolari complementari di integrali 

 riducibili di Y p , con gli indici di singolarità k ia) e k (a '\ i sistemi nulli 

 di Y p , rispetto a cui essi sono associati, sono tutti e soli quelli non sin- 

 golari di un sistema lineare avente per dimensione k {a) -f- k (a,) -J- 1 ; 

 e poi, se si tien conto dell'indice di singolarità di Y p , che: 



li) Se Lek! sono due sistemi regolari complementari di Y p e gli 

 indici di singolarità di A , A' e Y p sono, ordinatamente, k (a) ,k {ah e k, 

 due casi possono presentarsi: 



1°) o è k ia) -\- lc {a ' ] -\- l = k , e allora ciascuno dei due sistemi A 

 e A' individua il proprio complementare; 



2°) o è k [a) -f- k W) -f- l<Ve, e allora ciascuno dei due sistemi A 

 e A' ammette infiniti sistemi complementari distinti. 



E non basta. Siccome gli assi A, e A[ di A e A' sono indipendenti, il 

 numero dei sistemi nulli non singolari di A linearmente indipendenti eguaglia 

 il numero dei sistemi nulli singolari di Y p , linearmente indipendenti, che 

 hanno per asse A[, poiché ognuno di questi induce nell'asse di A un sistema 

 nullo non singolare di A, e ogni tal sistema nullo di A è indotto nell'asse 

 di A da un sistema nullo di Y p avente per asse AI; dunque, ricordando 

 una proposizione già da noi dimostrata ( 15 ), possiamo dire che: 



III) Condizione necessaria e sufficiente perchè una varietà alge- 

 brica Y p ammetta sistemi regolari di integrali riducibili è che essa am- 

 metta sistemi nulli singolari. Ad ogni tal sistema nullo, eventualmente 

 esistente, risponde uno ed un sol sistema regolare di integrali riducibili 

 avente per asse l'asse del sistema nullo; mentre, per ogni eventuale si- 

 stema regolare di integrali riducibili di Y p , esistono tanti sistemi nulli 

 di Y p , linearmente indipendenti, aventi per asse l'asse del sistema, quant'è 



(") Loc. cit. *> 



