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Si ha il teorema: Ogni sostituzione si decompone in cicli, anelli, 

 catene operanti su, elementi distinti. 



Inoltre: La potenza n-esima di un anello è il prodotto di \n\ anelli 

 staccati, per n intero positivo o negativo. 



La potenza n-esima di una catena è il prodotto di n catene staccate. 



Introducendo il concetto di ordine delle sostituzioni nel solito modo, 

 si hanno i seguenti tipi di sostituzioni : a) quelle ad ordine finito di cicli ; 

 /?) quelle ad ordine finito ed un numero infinito di cicli ; y) quelle ad 

 ordine infinito, composte di soli cicli; 3) quelle d'ordine infinito, composte 

 anche d'anelli ; s) quelle con catene. 



Nelle sostituzioni chiameremo caratteristica il complesso di elementi 

 che mancano nel denominatore della sostituzione : quelli, cioè, da cui pren- 

 dono origine le catene; e rango r il loro numero o la potenza del loro 

 insieme 



3. Un certo insieme di sostituzioni si dirà formare gruppo se il pro- 

 dotto di due sue qualunque sostituzioni appartiene al complesso; esso avrà 

 ordine a e grado /?, se « e /? sono il numero o la potenza degli insiemi 

 delle sostituzioni e degli elementi. 



L' inversa d'una sostituzione (se esiste) non è necessariamente compresa 

 nel gruppo ; se è compresa — qualunque sia la sostituzione — il gruppo si 

 dirà completo. 



Un concetto, che nei gruppi ordinari diventa quello d'eguaglianza, è 

 quello che diremo di subvarianza : un gruppo (o complesso) r è subvariante 

 di G, se il prodotto di due loro sostituzioni appartiene a G. Vale il teo- 

 rema : Se G possiede la sostituzione identica, r sarà un sottogruppo di G. 

 Inoltre, sulle caratteristiche si può dire: Le sostituzioni d'un gruppo, aventi 

 rango uguale o maggiore di v , formano un sottogruppo, che segneremo 

 (vQ,); il sottogruppo (1(?,) lo diremo di irreversibilità. Oltre questo, vi è 

 il sottogruppo composto da tutte le sostituzioni che ammettono inversa: lo 

 diremo primo sottogruppo d'inversione, e lo segneremo (J<Sf); così anche v'è 

 il sottogruppo di tutte le sostituzioni che ammettono inversa, appartenente 

 ancora al gruppo: secondo sottogruppo d'inversione o (i§); esso è sottogruppo 

 di (J<2)). Vi è inoltre il terzo gruppo d'inversione o (f@)) ; esso è composto 

 dall' insieme di sostituzioni del gruppo aventi ordine finito, ed è sottogruppo 

 di {iQ\); infine v'è il sottogruppo di non inversione o composto dalle 

 sostituzioni la cui inversa esiste ma non appartiene al gruppo. Si ha il 

 teorema : 



Qualunque gruppo si decompone identicamente nella somma di 

 <1<$), (*<$), (/<!): cioè 



<|-(i<3) + (J<i) ; (J<!) = (*<2) + (;<!) ; q = (i$) + (iq) + uq); 



{3<^),(iGj) sono subvarianti ad (1<|); (j<%) ad {iGfr). 



