Quindi, per tale teorema, basta studiare separatamente i gruppi (?, , 

 coincidenti con (1<£}) {gruppi di prima specie); quelli coincidenti con 

 (gruppi di seconda specie); quelli coincidenti con iQ f (gruppi di tersa specie). 

 Questi ultimi sono la immediata estensione degli ordinari. 



Si presenta la quistione di convergenza d'un insieme ben ordinato (in 

 particolare numerabile) di sostituzioni operanti su insiemi d'elementi. Diremo 

 che un insieme ben ordinato di sostituzioni S converge astrattamente ad 

 una sostituzione 2, se, scelto un elemento £, si possa sempre trovare una 

 sostituzione tale che essa e tutte le seguenti mutino sempre £ nello stesso 

 elemento rj: 2 muterà £ in rj; in modo analogo per la divergenza astratta 

 e l' indeterminazione astratta. In tal modo, si possono costruire dei criteri 

 di convergenza astratta per lo studio dei prodotti di infinite sostituzioni : 

 S, • S'2 • Ss , . . . 



Si vede che il simbolo (A , B), gruppo generato dai complessi A e B, 

 può avere infiniti significati. Infatti, delle sostituzioni limiti, noi possiamo 

 sceglierne solo alcune — secondo un criterio y — come appartenenti ad 

 (A , B) : in particolaie nessuna tutte. 



Un gruppo generico G$ si dirà chiuso se tutte le sue sostituzioni limiti 

 vi appartengono; aperto, nel caso contrario; totalmente aperto se nessuna 

 v'appartiene, salvo le evidenti 



2=lim S„ ; S„ = S. 



/ gruppi ordinari sono tali che danno luogo a successioni (0 insiemi 

 ben ordinali) astrattamente indeterminate. 



4. I gruppi di prima specie hanno una costituzione particolarmente 

 semplice: se, per ricorrenza, indichiamo con C„ il complesso di sostituzioni 



(w(|) — 2C ri . ■ . G rm (fi H r m = n), 



con (eQ t ) indichiamo poi l'insieme di sostituzioni a caratteristica finita, e 

 con (<»(?,) quello a caratteristica infinita, avremo 



q = (iq) = (*<?,) + (*<$) = c, + m) = Ci + [o,o, + 0,] + (3<?,) = ... 



Ma (e<2\) è un gruppo aperto generato da C, , C 2 , C 3 , . . . secondo la legge 

 K) = C,-f [CO, + C,] + [0,0*0, + C.C, + CaC, + C 3 ] + • • • ; 



mQf invece è eguale alla somma del complesso y {e<$), costituito dalle sosti- 

 tuzioni limiti di eQj scelte secondo il criterio y — e d'un sottogruppo (?,' — 

 chiuso secondo y: quindi ahbiamo 



<i-<«9)+K«<3)+<r. 



