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Notiamo che a sua volta si decompone nella somma di altrettanti 

 complessi <%' a relativi alle diverse potenze (d' insieme) a : e supposta cono- 

 sciuta la teoria di queste, si potrebbe continuare nella decomposizione. 



Se nelle catene di d , C t , . . , noi pensiamo introdotti degli elementi a 

 in modo da trasformare in anelli le catene ('), diremo questi elementi 

 ideali, e noi passeremo da un gruppo di prima specie ad uno di seconda; 

 e se reciprocamente consideriamo certi elementi effettivi come ideali, passe- 

 remo da uno di seconda ad uno di prima specie. Fra le sostituzioni allora 

 ve ne saranno alcune che muteranno elementi effettivi in ideali: le diremo 

 sostituzioni ideali; esse si trovano completando il gruppo di seconda specie 

 mediante le sostituzioni inverse. 



Quindi si ha: Con V introduzione degli elementi ideali (riguardando 

 cioè certi elementi come effettivi, altri come ideali) ogni gruppo di seconda 

 specie è oloedricamente isomorfo ad uno di prima. 



Il concetto di transitività si scinde in diversi altri : secondo che esiste 

 almeno un elemento che si può trasformare in qualunque altro o che 

 sia il trasformato, o se un qualunque elemento si può trasformare in qua- 

 lunque altro. Vi è infine il concetto di quasi-transività : se gli elementi si 

 possono raggruppare in un insieme ordinato di insiemi, sì che un elemento 

 d'un insieme A si può trasformare in uno di B, solo se A precede B 

 nell'ordinamento. 



Con qualunque di essi vale il teorema : 



Un gruppo di transitività a-pla, di grado /?, deve essere d'ordine 

 maggiore di a?", e precisamente d'ordine 



ove ctr sia il massimo ordine di sottogruppi lascianti fermi a elementi, 

 e se almeno uno dei tre numeri a , /? , y è un transfinito. 



Se un gruppo è regolare-numerabile, la sua transitività deve essere 

 finita. 



Se un gruppo è regolare-continuum, la sua transitività deve essere finita 

 o numerabile, ecc. 



5. Oltre la convergenza astratta, si presenta la convergenza relativa o 

 concreta. Data un opportuna definizione di scarto di due elementi e di ele- 

 menti limiti, ed assegnata una qualunque successione (o insieme ordinato) 

 di sostituzioni del gruppo, diremo che questa converge concretamente ad 

 una sostituzione 2, se, scelto l'elemento a, cui Si , S 2 , ... fanno corrispon- 

 dere flj , a 2 , ... , hanno luogo le due proprietà : 



I) qualunque successione a x a 2 ... tende sempre ad un unico elemento- 

 limite a; 



(') Così da (a t a 2 a, • • • oo) avremo la (oo • ■ • « 2 «, a, a, a 3 ■ ■ • oo). 



