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Neil' ipotesi che una varietà algebrica contenga almeno una coppia di 

 sistemi regolari complementari isolati, la totalità lineare di dimensione mi- 

 nima contenente i sistemi nulli della varietà ha una struttura particolar- 

 mente semplice, e ciò permette di descrivere con sufficiente chiarezza la 

 distribuzione di tutti i sistemi regolari appartenenti alla varietà. 



Precisamente si trova che: 



Se una varietà algebrica possiede due sistemi regolari complemen- 

 tari isolati di integrali riducibili, ogni altro sistema regolare della va- 

 rietà (eventualmente esistente) o appartiene ad uno dei due sistemi in 

 discorso, o congiunge un sistema appartenente all'uno con un sistema 

 appartenente all'altro. 



Di qua si ricava agevolmente che una varietà algebrica non può pos- 

 sedere infiniti sistemi regolari isolati di integrali riducibili; anzi si dimostra 

 «he, se p è l'irregolarità superficiale di una varietà algebrica J il numero 

 dei suoi sistemi regolari isolati di integrali riducibili è necessariamente 

 finito e del tipo 2 n — 2, ove l'intero n non supera p, e sta ad indicare 

 il numero dei sistemi regolari isolati che non provengono dal congiungere 

 sistemi regolari isolati di dimensione inferiore. 



Questo teorema dà poi luogo a conseguenze semplici ed interessanti 

 per le varietà algebriche contenenti soltanto un insieme finito di sistemi 

 regolari di integrali riducibili. 



1. In uno spazio lineare 2 a 2p — 1 dimensioni siano dati due spazi 

 duali indipendenti A, e AJ, dei quali A, abbia la dimensione 2q — 1 e Ai 

 la dimensione 2q' — \ = 2(p — q) — 1, essendo 0<Cq<Cp (e quindi p^>l 

 e 0<^q'<Cp)- Si abbiano poi, sempre in 2, k x -f- 1 sistemi nulli, linear- 

 mente indipendenti, aventi per asse Ai, e k\ -f- 1 sistemi nulli, linearmente 

 indipendenti, aventi per asse A[. Questi k 1 -f- k[ -4- 2 sistemi nulli risultano, 

 allora, tutti, linearmente indipendenti, e quindi determinano un sistema 

 lineare oo fti+ft i-'- 1 . 



singolare, o ha per asse uno spazio appartenente a uno dei due spazi A x 

 & A{ , o ha per asse lo spazio congiungente due spazi appartenenti rispet- 

 tivamente ad Ai e A[ . 



Infatti stabiliamo in 2 un sistema di coordinate proiettive omogenee, 

 prendendo i vertici 1 ,2 , ... , 2q della piramide fondamentale nello spazio Ai 

 e i vertici 2q -f- 1 , 2q -f- 2 , ... , 2p della piramide stessa nello spazio A[. 



L'equazione di un sistema nullo qualunque della nostra totalità sarà 

 rappresentato da un'equazione del tipo 



Ebbene: 



Un sistema nullo di questa totalità lineare oo 



h i +h i+\ che risulti 



(1) 



